Definiția teoremei lui Bayes
Ce este teorema lui Bayes?
Teorema lui Bayes, numită după matematicianul britanic Thomas Bayes din secolul al XVIII-lea, este o formulă matematică pentru determinarea probabilității condiționate. Probabilitatea condiționată este probabilitatea apariției unui rezultat, pe baza unui rezultat anterior. Teorema lui Bayes oferă o modalitate de revizuire a predicțiilor sau teoriilor existente (actualizarea probabilităților), având în vedere dovezi noi sau suplimentare. În finanțe, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a evalua riscul împrumutului de bani potențialilor împrumutători.
Teorema lui Bayes mai este numită regula lui Bayes sau legea lui Bayes și este fundamentul domeniului statisticilor bayesiene.
Chei de luat masa
- Teorema lui Bayes vă permite să actualizați probabilitățile prezise ale unui eveniment prin încorporarea de noi informații.
- Teorema lui Bayes a fost numită după matematicianul din secolul al XVIII-lea Thomas Bayes.
- Este adesea angajat în finanțe la actualizarea evaluării riscurilor.
Înțelegerea teoremei lui Bayes
Aplicațiile teoremei sunt răspândite și nu se limitează la domeniul financiar. De exemplu, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a determina acuratețea rezultatelor testelor medicale luând în considerare cât de probabilă este o persoană care are o boală și acuratețea generală a testului. Teorema lui Bayes se bazează pe încorporarea distribuțiilor de probabilitate anterioare pentru a genera probabilități posterioare. Probabilitatea anterioară, în inferența statistică bayesiană, este probabilitatea unui eveniment înainte de colectarea de noi date. Aceasta este cea mai bună evaluare rațională a probabilității unui rezultat bazat pe cunoștințele actuale înainte de efectuarea unui experiment. Probabilitatea posterioară este probabilitatea revizuită a producerii unui eveniment după luarea în considerare a informațiilor noi. Probabilitatea posterioară este calculată prin actualizarea probabilității anterioare utilizând teorema lui Bayes. În termeni statistici, probabilitatea posterioară este probabilitatea apariției evenimentului A, având în vedere că a avut loc evenimentul B.
Teorema lui Bayes oferă astfel probabilitatea unui eveniment bazat pe informații noi care sunt sau pot fi legate de acel eveniment. Formula poate fi, de asemenea, utilizată pentru a vedea cum probabilitatea producerii unui eveniment este afectată de informații noi ipotetice, presupunând că noile informații se vor dovedi adevărate. De exemplu, să presupunem că o singură carte este extrasă dintr-un pachet complet de 52 de cărți. Probabilitatea ca cartea să fie un rege este împărțită la 52, ceea ce este egal cu 1/13 sau aproximativ 7,69%. Amintiți-vă că există patru regi în punte. Acum, să presupunem că este dezvăluit că cartea selectată este o carte de față. Probabilitatea ca cartea selectată să fie un rege, dat fiind că este o carte de față, este împărțită la 12, sau aproximativ 33,3%, deoarece există 12 cărți de față într-un pachet.
Formula pentru teorema lui Bayes
Exemple de teorema lui Bayes
Mai jos sunt două exemple ale teoremei lui Bayes în care primul exemplu arată modul în care formula poate fi derivată într-un exemplu de investiții în acțiuni folosind Amazon.com Inc. ( AMZN ). Al doilea exemplu se aplică teorema lui Bayes testării medicamentelor farmaceutice.
Derivând formula teoremei lui Bayes
Teorema lui Bayes rezultă pur și simplu din axiomele probabilității condiționate. Probabilitatea condițională este probabilitatea unui eveniment, având în vedere că a avut loc un alt eveniment. De exemplu, o întrebare simplă de probabilitate poate pune: „Care este probabilitatea ca prețul acțiunilor Amazon.com să scadă?” Probabilitate condiționată ia această întrebare un pas mai departe întrebând: „Care este probabilitatea de AMZN prețul de stoc care se incadreaza in conditiile in care Dow Jones Industrial Average? (DJIA) indicele a scăzut mai devreme“
Probabilitatea condițională a lui A dat fiind că B sa întâmplat poate fi exprimată ca:
Dacă A este: „prețul AMZN scade” atunci P (AMZN) este probabilitatea ca AMZN să scadă; iar B este: „DJIA este deja în jos” și P (DJIA) este probabilitatea că DJIA a căzut; atunci expresia condițională a probabilității se citește ca „probabilitatea ca AMZN să scadă în condițiile unei scăderi DJIA este egală cu probabilitatea ca prețul AMZN să scadă și DJIA să scadă peste probabilitatea unei scăderi a indicelui DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN și DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN și DJIA) este probabilitatea să apară atât A cât și B. Aceasta este, de asemenea, aceeași cu probabilitatea de apariție A înmulțită cu probabilitatea ca B să apară având în vedere că apare A, exprimată ca P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Faptul că aceste două expresii sunt egale duce la teorema lui Bayes, care este scrisă ca:
dacă, P (AMZN și DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
apoi, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Unde P (AMZN) și P (DJIA) sunt probabilitățile căderii Amazonului și Dow Jones, fără a se ține cont unul de celălalt.
Formula explică relația dintre probabilitatea ipotezei înainte de a vedea dovezile că P (AMZN) și probabilitatea ipotezei după obținerea dovezilor P (AMZN | DJIA), având în vedere o ipoteză pentru Amazon prezentată în Dow.
Exemplu numeric al teoremei lui Bayes
Ca exemplu numeric, imaginați-vă că există un test de droguri care este 98% precis, adică 98% din timp arată un rezultat pozitiv adevărat pentru cineva care utilizează drogul și 98% din timp arată un rezultat negativ adevărat pentru cei care nu utilizează medicament. Apoi, presupuneți că 0,5% dintre oameni consumă drogul. Dacă o persoană selectată la întâmplare dă rezultate pozitive pentru medicament, se poate face următorul calcul pentru a vedea dacă probabilitatea ca persoana să fie de fapt un utilizator al medicamentului.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Teorema lui Bayes arată că, chiar dacă o persoană a dat rezultate pozitive în acest scenariu, este de fapt mult mai probabil ca persoana să nu fie consumatoare de droguri.