Interes compus continuu

Dobânda compusă este dobânda calculată la principalul inițial   și, de asemenea, la dobânda acumulată din perioadele anterioare ale unui depozit sau împrumut. Efectul dobânzii compuse depinde de frecvență.

Să presupunem o rată anuală a dobânzii de 12%. Dacă începem anul cu 100 USD și compunem o singură dată, la sfârșitul anului, principalul crește la 112 USD (100 USD x 1,12 = 112 USD). Dobânda aplicată numai principiului este denumită dobândă simplă. Dacă în schimb compunem în fiecare lună la 1%, vom ajunge cu mai mult de 112 USD la sfârșitul anului. Adică, 100 $ x 1,01 ^ 12 este egal cu 112,68 $. (Este mai mare, deoarece am compus mai frecvent.)

Returnările compuse continuu sunt compuse cel mai frecvent dintre toate. Compunerea continuă este limita matematică pe care o poate atinge interesul compus. Este un caz extrem de compunere, deoarece majoritatea dobânzii se compune pe o bază lunară, trimestrială sau semestrială.

Chei de luat masa

• Dobânda simplă se aplică numai principiului și nu orice dobândă acumulată.
• Dobânda compusă este dobânda care se acumulează pe principiul și dobânda aplicată anterior.
• Efectul dobânzii compuse depinde de frecvența cu care se aplică.
• Pentru obligațiuni, randamentul echivalent al obligațiunilor este rentabilitatea anuală preconizată.
• Compunerea continuă returnează scara pe mai multe perioade.
• Se spune că dobânzile compuse la cea mai mare frecvență se compun continuu.

Ratele de rentabilitate semestriale

În primul rând, să aruncăm o privire la o randament echivalent cu obligațiunea (sau o bază echivalentă cu obligațiunea). Aceasta înseamnă că, dacă o obligațiune produce 6% pe o bază semestrială, randamentul său echivalent cu obligațiunea este de 12%.

Randamentul semestrial este pur și simplu dublat. Acest lucru este potențial confuz, deoarece randamentul efectiv al unei obligațiuni de randament echivalent cu 12% este de 12,36% (adică 1,06 ^ 2 = 1,1236). Dublarea randamentului semestrial este doar o convenție de numire a obligațiunilor. Prin urmare, dacă citim despre o legătură de 8% compusă semestrial, presupunem că aceasta se referă la un randament semestrial de 4%.

Ratele de rentabilitate trimestriale, lunare și zilnice

Acum, să discutăm frecvențe mai mari. Încă presupunem o rată a dobânzii pe piață anuală de 12%. Conform convențiilor de denumire a obligațiunilor, aceasta implică o rată compusă semestrială de 6%. Acum putem exprima rata compusă trimestrială în funcție de rata dobânzii de pe piață.

Având în vedere o rată de piață anuală ( r), rata trimestrială compusă ( r q ) este dată de:

Deci, pentru exemplul nostru, unde rata anuală a pieței este de 12%, rata trimestrială compusă este de 11,825%:

rq=4
(…)rq(…)=4[(2

O logică similară se aplică compunerii lunare. Rata lunară compusă ( r m ) este dată aici ca funcție a ratei dobânzii anuale de piață ( r):

Rata compusă zilnică ( d) în funcție de rata dobânzii de piață ( r) este dată de:

rd=360
rd(…)(…)=360[(2

Cum funcționează compunerea continuă

Dacă mărim frecvența compusului până la limita sa, vom compune continuu. Deși acest lucru poate să nu fie practic, rata dobânzii continuu compusă oferă proprietăți minunat de convenabile. Se pare că rata dobânzii compuse continuu este dată de:

---

Cu creșteri mai mici de timp, valoarea dobânzii câștigate este infinit de mică.

Ln () este logul natural și, în exemplul nostru, rata compusă continuu este, prin urmare:

rconteuntuotus=ln⁡(1+0.12)=ln⁡(1.12)≅11.33%\ begin {aliniat} & r_ {continuu} = \ ln (1 + 0,12) = \ ln (1,12) \ cong 11,33 \% \\ \ end {aliniat}(…)rcontinuous(…)=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%(…)

Ajungem în același loc luând jurnalul natural al acestui raport: valoarea finală împărțită la valoarea inițială.

rconteuntuotus=ln⁡(ValueEndValueStart)=ln⁡(112100)≅11.33%\ begin {align} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ stânga (\ frac {112} {100} \ dreapta) \ cong 11,33 \% \\ \ end {align}(…)rcontinuous(…)=ln(Valoarestart(…)

Acesta din urmă este obișnuit atunci când se calculează randamentul compus continuu pentru un stoc. De exemplu, dacă stocul sare de la 10 USD într-o zi la 11 USD în ziua următoare, randamentul zilnic compus continuu este dat de:

rconteuntuotus=ln⁡(ValueEndValueStart)=ln⁡($11$10)≅9.53%\ begin {align} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ stânga (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ dreapta) \ cong 9,53 \% \\ \ end {align}(…)rcontinuous(…)=ln(Valoarestart(…)

Ce este atât de grozav la rata compusă continuu (sau rentabilitate) pe care o vom nota cu r c? În primul rând, este ușor să îl scalați înainte. Având în vedere principiul (P), averea noastră finală de peste (n) ani este dată de:

w=Percn\ begin {align} & w = Pe ^ {r_c n} \\ \ end {align}(…)w=Perc(…)n(…)

Rețineți că  e  este funcția exponențială. De exemplu, dacă începem cu 100 USD și continuăm să fim compuși la 8% pe parcursul a trei ani, averea finală este dată de:

w=$100e(0.08)(3)=$127.12\ begin {align} & w = \ $ 100e ^ {(0,08) (3)} = \ 127,12 $ \\ \ end {align}(…)w=$100e(0.08)(3)=127$.12(…)

Reducerea la valoarea actuală (PV) este doar o compunere inversă, deci valoarea actuală a unei valori viitoare (F) compusă continuu cu o rată de ( r c ) este dată de:

PV of F received in (n) years=Fercn=Fe-rcn\ begin {align} & \ text {PV of F primit în (n) ani} = = frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ { -r_c n} \\ \ end {align}(…)PV de F primit în (n) ani=erc(…)n

De exemplu, dacă veți primi 100 USD în trei ani sub o rată continuă de 6%, valoarea sa actuală este dată de:

PV=Fe-rcn=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53\ begin {align} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0.18} \ cong \ $ 83.53 \\ \ end {align}(…)PV=Fe-rc(…)n=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅8$3.53(…)

Scalare pe perioade multiple

Proprietatea convenabilă a rentabilităților compuse continuu este aceea că se scalează pe perioade multiple. Dacă randamentul pentru prima perioadă este de 4% și randamentul pentru a doua perioadă este de 3%, atunci randamentul în două perioade este de 7%. Luați în considerare că începem anul cu 100 USD, care crește la 120 USD la sfârșitul primului an, apoi 150 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Randamentele compuse continuu sunt, respectiv, 18,23% și 22,31%.

ln⁡(120100)≅18.23%\ begin {align} & \ ln \ left (\ frac {120} {100} \ right) \ cong 18.23 \% \\ \ end {align}(…)ln(100

ln⁡(150120)≅22.31%\ begin {align} & \ ln \ left (\ frac {150} {120} \ right) \ cong 22.31 \% \\ \ end {align}(…)ln(120

Dacă pur și simplu le adăugăm împreună, obținem 40,55%. Aceasta este rentabilitatea în două perioade:

ln⁡(150100)≅40.55%\ begin {align} & \ ln \ left (\ frac {150} {100} \ right) \ cong 40,55 \% \\ \ end {align}(…)ln(100

Din punct de vedere tehnic, revenirea continuă este consecventă în timp. Coerența timpului este o variabilă aleatorie distribuită în mod normal, dorim ca variabilele aleatoare cu perioadă multiplă să fie distribuite în mod normal și ele. În plus, rentabilitatea compusă continuu pe mai multe perioade este distribuită în mod normal (spre deosebire, să zicem, de un procent simplu)

Întrebări frecvente despre compunerea continuă

Ce înseamnă a fi compus continuu?

A fi compus continuu înseamnă că nu există nicio limită la frecvența cu care dobânda poate compune. Compunerea continuă poate avea loc de mai multe ori, ceea ce înseamnă că un echilibru câștigă interes în orice moment.

Compusul înseamnă continuu zilnic?

Compus continuu înseamnă că interesează compușii în fiecare moment, chiar și în cea mai mică perioadă de timp cuantificabilă. Prin urmare, compusul apare continuu mai frecvent decât zilnic.

De ce este utilizat compusul continuu?

Compunerea continuă este utilizată pentru a arăta cât poate câștiga un sold atunci când dobânda se acumulează constant. Pentru investitori, aceștia pot calcula cât de mult se așteaptă să primească de la o investiție care câștigă o rată a dobânzii care se compune continuu.

Care este diferența dintre compunerea discretă și cea continuă?

Compunerea discretă aplică dobânzi la momente specifice, cum ar fi zilnic, lunar, trimestrial sau anual. Compunerea discretă definește în mod explicit timpul în care se va aplica dobânda. Compunerea continuă aplică dobândă continuu, în fiecare moment din timp.

Care este diferența dintre a compune anual și continuu?

Compunerea anuală înseamnă că dobânda se aplică principiului și dobânda acumulată anterior anual; întrucât, compunerea continuă înseamnă că dobânda se aplică principiului și dobânda acumulată în fiecare moment. Nu există o fracțiune de timp în care dobânda să nu fie aplicată cu compunerea continuă.

Linia de fund

Putem reformula ratele dobânzii anuale în rate dobânzii semestrale, trimestriale, lunare sau zilnice (sau rate de rentabilitate). Cel mai frecvent compus este compusul continuu, care ne impune să folosim un log natural și o funcție exponențială, utilizată în mod obișnuit în finanțe datorită proprietăților sale dorite. Compunerea continuă returnează cu ușurință scala pe mai multe perioade și este consecventă în timp.