Defalcarea modelului binomial pentru a valorifica o opțiune

În lumea financiară, Black-Scholes și modelele binomiale de evaluare a opțiunilor sunt două dintre cele mai importante concepte din teoria financiară modernă. Ambele sunt folosite pentru a  aprecia o opțiune și fiecare are propriile sale avantaje și dezavantaje.

Unele dintre avantajele de bază ale utilizării modelului binomial sunt:

• O vizualizare cu mai multe perioade
• Transparenţă
• Abilitatea de a încorpora probabilități

În acest articol, vom explora avantajele utilizării modelului binomial în locul modelului Black-Scholes și vom oferi câțiva pași de bază pentru a dezvolta modelul și a explica modul în care este utilizat. 

Vizualizare pe mai multe perioade

Modelul binomial oferă o vizualizare pe mai multe perioade a prețului activului subiacent, precum și a prețului opțiunii. Spre deosebire de modelul Black-Scholes, care oferă un rezultat numeric bazat pe intrări, modelul binomial permite calcularea activului și opțiunea pentru perioade multiple împreună cu gama de rezultate posibile pentru fiecare perioadă (vezi mai jos).

Avantajul acestei viziuni pe mai multe perioade este că utilizatorul poate vizualiza schimbarea prețului activelor de la o perioadă la alta și poate evalua opțiunea pe baza deciziilor luate în diferite momente din timp. Pentru o opțiune bazată pe SUA, care poate fi exercitată în orice moment înainte de data expirării, modelul binomial poate oferi informații cu privire la momentul în care exercitarea opțiunii poate fi recomandabilă și când ar trebui menținută pentru perioade mai lungi. Privind arborele binomial al valorilor, un comerciant poate determina în prealabil când poate apărea o decizie cu privire la un exercițiu. Dacă opțiunea are o valoare pozitivă, există posibilitatea exercitării, în timp ce, dacă opțiunea are o valoare mai mică de zero, ar trebui menținută pentru perioade mai lungi.

Transparenţă

Strâns legată de revizuirea pe mai multe perioade este capacitatea modelului binomial de a oferi transparență în valoarea de bază a activului și a opțiunii pe măsură ce timpul progresează. Modelul Black-Scholes are cinci intrări:

1. Rata fără risc
2. Prețul de exercițiu
3. Prețul curent al activului
4. Timpul până la maturitate
5. Volatilitatea implicită a prețului activului

Când aceste puncte de date sunt introduse într-un model Black-Scholes, modelul calculează o valoare pentru opțiune, dar impactul acestor factori nu este dezvăluit de la o perioadă la alta. Cu modelul binomial, un comerciant poate vedea schimbarea prețului activului suport de la o perioadă la alta și modificarea corespunzătoare a prețului opțiunii. 

Incorporând probabilități

Metoda de bază pentru calcularea modelului de opțiuni binomiale este aceea de a utiliza aceeași probabilitate în fiecare perioadă pentru succes și eșec până la expirarea opțiunii. Cu toate acestea, un comerciant poate încorpora probabilități diferite pentru fiecare perioadă pe baza informațiilor noi obținute pe măsură ce trece timpul.

De exemplu, poate exista 50/50 șanse ca prețul activului suport să crească sau să scadă cu 30 la sută într-o perioadă. Cu toate acestea, pentru a doua perioadă, probabilitatea ca prețul activului suport să crească poate crește până la 70/30. De exemplu, dacă un investitor evaluează un puț de petrol, acel investitor nu este sigur care este valoarea puțului de petrol, dar există șanse de 50/50 ca prețul să crească. Dacă prețul petrolului crește în perioada 1, ceea ce face ca petrolul să fie mai valoros și fundamentele pieței indică acum creșteri continue ale prețurilor petrolului, probabilitatea unei aprecieri ulterioare a prețului ar putea fi acum de 70%. Modelul binomial permite această flexibilitate; modelul Black-Scholes nu.

Dezvoltarea modelului

Cel mai simplu model binomial va avea două randamente așteptate ale căror probabilități se ridică la 100%. În exemplul nostru, există două rezultate posibile pentru fântâna de petrol în fiecare moment. O versiune mai complexă ar putea avea trei sau mai multe rezultate diferite, cărora li se oferă fiecare o probabilitate de apariție.

Pentru a calcula randamentele pe perioadă începând cu momentul zero (acum), trebuie să facem o determinare a valorii activului subiacent într-o perioadă de acum. În acest exemplu, presupunem următoarele:

• Prețul activului suport (P): 500 USD
• Preț exercițiu opțiune de apel (K): 600 USD
• Rată fără risc pentru perioada respectivă: 1 la sută
• Schimbarea prețului în fiecare perioadă: 30% în sus sau în jos

Prețul activului suport este de 500 USD și, în perioada 1, poate fi în valoare de 650 USD sau 350 USD. Acesta ar fi echivalentul unei creșteri sau scăderi de 30% într-o perioadă. Deoarece prețul de exercițiu al opțiunilor de apel pe care le deținem este de 600 USD, dacă activul subiacent ajunge să fie mai mic de 600 USD, valoarea opțiunii de apel ar fi zero. Pe de altă parte, dacă activul suport depășește prețul de exercițiu de 600 USD, valoarea opțiunii de achiziție ar fi diferența dintre prețul activului suport și prețul de exercitare. Formula pentru acest calcul este [max (PK), 0]. 

Să presupunem că există o șansă de 50% să urci și o șansă de 50% să cobori. Utilizând valorile perioadei 1 ca exemplu, aceasta se calculează ca

max⁡
(…)max[($650-6$00),0]∗0.5+max[($350-6$00),0]∗0.5=5$0∗0.5+0USD=2$5(…)

Pentru a obține valoarea curentă a opțiunii de apel, trebuie să reducem cei 25 USD din perioada 1 până la perioada 0, care este

Acum puteți vedea că, dacă probabilitățile sunt modificate, se va modifica și valoarea așteptată a activului subiacent. Dacă probabilitatea ar trebui modificată, poate fi modificată și pentru fiecare perioadă ulterioară și nu trebuie neapărat să rămână aceeași pe tot parcursul.

Modelul binomial poate fi extins cu ușurință la mai multe perioade. Deși modelul Black-Scholes poate calcula rezultatul unei date de expirare extinse, modelul binomial extinde punctele de decizie la mai multe perioade.

Utilizări pentru modelul binomial

În plus față de utilizarea sa ca metodă de calcul al valorii unei opțiuni, modelul binomial poate fi utilizat și pentru proiecte sau investiții cu un grad ridicat de incertitudine, decizii de bugetare a capitalului și de alocare a resurselor și proiecte cu perioade multiple sau opțiunea încorporată pentru a continua sau a abandona proiectul în anumite momente din timp.

Un exemplu simplu este un proiect care presupune forarea pentru petrol. Incertitudinea acestui tip de proiect dacă terenul care este forat are deloc petrol, cantitatea de petrol care poate fi forată, dacă se găsește petrol, și prețul la care petrolul poate fi vândut odată extras. 

Modelul de opțiune binomială poate ajuta la luarea deciziilor în fiecare punct al proiectului de forare petrolieră. De exemplu, să presupunem că decidem să forăm, dar fântâna de petrol va fi profitabilă numai dacă găsim suficient petrol și prețul petrolului depășește o anumită cantitate. Va dura o perioadă completă pentru a determina cât de mult petrol putem extrage, precum și prețul petrolului în acel moment. După prima perioadă (un an, de exemplu), putem decide pe baza acestor două puncte de date dacă continuăm să forăm sau să abandonăm proiectul. Aceste decizii pot fi luate continuu până la atingerea unui punct în care forajul nu are valoare, moment în care fântâna va fi abandonată.

Linia de fund

Modelul binomial oferă o imagine mai detaliată, permițând vizualizări pe mai multe perioade ale prețului activului subiacent și prețul opțiunii pentru mai multe perioade, precum și gama de rezultate posibile pentru fiecare perioadă. În timp ce atât modelul Black-Scholes, cât și modelul binomial pot fi utilizate pentru a valorifica opțiunile, modelul binomial are o gamă mai largă de aplicații, este mai intuitiv și este mai ușor de utilizat.