Explorarea mediei mobile ponderate exponențial

Volatilitatea este cea mai frecventă măsură a riscului, dar vine în mai multe arome. Într-un articol anterior, am arătat cum să calculăm volatilitatea istorică simplă. În acest articol, vom îmbunătăți volatilitatea simplă și vom discuta despre media mobilă ponderată exponențial (EWMA).

Volatilitate istorică vs. volatilitate implicată

În primul rând, să punem această valoare într-un pic de perspectivă. Există două abordări largi: volatilitatea istorică și implicită (sau implicită). Abordarea istorică presupune că trecutul este un prolog; măsurăm istoria în speranța că este predictivă. Volatilitatea implicată, pe de altă parte, ignoră istoria; rezolvă volatilitatea implicată de prețurile pieței. Speră că piața știe cel mai bine și că prețul pieței conține, chiar dacă implicit, o estimare consensuală a volatilității.

Dacă ne concentrăm doar pe cele trei abordări istorice (în stânga sus), acestea au doi pași în comun:

1. Calculați seria randamentelor periodice
2. Aplicați o schemă de ponderare

În primul rând, calculăm rentabilitatea periodică. Aceasta este de obicei o serie de randamente zilnice în care fiecare randament este exprimat în termeni compuși continuu. Pentru fiecare zi, luăm jurnalul natural al raportului dintre prețurile acțiunilor (adică prețul de azi împărțit la prețul de ieri și așa mai departe).

Aceasta produce o serie de randamente zilnice, de la u i la u i-m, în funcție de câte zile (m = zile) măsurăm.

Aceasta ne duce la al doilea pas: aici diferă cele trei abordări. În articolul precedent, am arătat că, sub câteva simplificări acceptabile, varianța simplă este media randamentelor pătrate:

Variance=σn2=1m∑eu=1mtun-12where:m=Number of days measuredn=Day eutu=Difference of return from average return\ begin {align} & \ text {Variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {unde:} \\ & m = \ text {Numărul de zile măsurate} \\ & n = \ text {Day} i \\ & u = \ text {Diferența de returnare față de randamentul mediu} \\ \ end {align}(…)Varianța=σn2(…)=m

Observați că aceasta însumează fiecare dintre randamentele periodice, apoi împarte totalul respectiv la numărul de zile sau observații (m). Deci, este într-adevăr doar o medie a randamentelor periodice pătrate. Altfel spus, fiecare revenire pătrată are o greutate egală. Deci, dacă alfa (a) este un factor de ponderare (în mod specific, a = 1 / m), atunci o varianță simplă arată așa:

EWMA îmbunătățește varianța simplă Punctul slab al acestei abordări este că toate randamentele câștigă aceeași greutate. Revenirea de ieri (foarte recentă) nu are o influență mai mare asupra varianței decât revenirea de luna trecută. Această problemă este rezolvată prin utilizarea mediei mobile ponderate exponențial (EWMA), în care randamentele mai recente au o pondere mai mare asupra varianței.

Media mobilă ponderată exponențial (EWMA) introduce lambda, care se numește parametrul de netezire. Lambda trebuie să fie mai mică decât una. În această condiție, în loc de greutăți egale, fiecare revenire pătrată este ponderată de un multiplicator după cum urmează:

De exemplu, RiskMetricsTM, ocompanie de gestionare a riscurilor financiare, tinde să utilizeze o lambda de 0,94 sau 94%.  În acest caz, primul (cel mai recent) randament periodic pătrat este ponderat cu (1-0.94) (. 94) = 6%. Următoarea revenire pătrată este pur și simplu un multiplu lambda al greutății anterioare; în acest caz 6% înmulțit cu 94% = 5,64%. Iar greutatea celei de-a treia zile anterioare este egală cu (1-0,94) (0,94) = 5,30%.

Acesta este sensul „exponențial” în EWMA: fiecare greutate este un multiplicator constant (adică lambda, care trebuie să fie mai mic decât unul) din greutatea din ziua anterioară. Acest lucru asigură o varianță care este ponderată sau părtinitoare față de date mai recente. Diferența dintre pur și simplu volatilitate și EWMA pentru Google este prezentată mai jos.

Volatilitatea simplă cântărește efectiv fiecare randament periodic cu 0,196%, așa cum se arată în coloana O (am avut doi ani de date zilnice despre prețul acțiunilor. Adică 509 randamente zilnice și 1/509 = 0,196%). Observați însă că Coloana P atribuie o pondere de 6%, apoi 5,64%, apoi 5,3% și așa mai departe. Aceasta este singura diferență între varianța simplă și EWMA.

Amintiți-vă: după ce însumăm întreaga serie (în coloana Q) avem varianța, care este pătratul abaterii standard. Dacă dorim volatilitate, trebuie să ne amintim să luăm rădăcina pătrată a varianței respective.

Care este diferența în volatilitatea zilnică între varianță și EWMA în cazul Google? Este semnificativ: varianța simplă ne-a dat o volatilitate zilnică de 2,4%, dar EWMA a dat o volatilitate zilnică de numai 1,4% (consultați foaia de calcul pentru detalii). Aparent, volatilitatea Google s-a stabilit mai recent; prin urmare, o varianță simplă ar putea fi artificial ridicată.

Varianța de astăzi este o funcție a varianței zilei anterioare

Veți observa că trebuie să calculăm o serie lungă de greutăți în scădere exponențială. Nu vom face calculul aici, dar una dintre cele mai bune caracteristici ale EWMA este că întreaga serie se reduce în mod convenabil la o formulă recursivă:

Recursiv înseamnă că referințele varianței de astăzi (adică este o funcție a) varianței zilei anterioare. Puteți găsi această formulă și în foaia de calcul și produce exact același rezultat ca și calculul de mână lungă! Se spune: varianța de astăzi (sub EWMA) este egală cu varianța de ieri (ponderată cu lambda) plus randamentul pătrat de ieri (ponderat cu un minus lambda). Observați cum tocmai adăugăm doi termeni împreună: varianța ponderată de ieri și rentabilitatea ponderată de ieri.

Chiar și așa, lambda este parametrul nostru de netezire. O lambda mai mare (de exemplu, ca 94% a RiskMetric) indică o decădere mai lentă a seriei – în termeni relativi, vom avea mai multe puncte de date în serie și vor „cădea” mai încet. Pe de altă parte, dacă reducem lambda, indicăm o descompunere mai mare: greutățile cad mai repede și, ca rezultat direct al decăderii rapide, sunt utilizate mai puține puncte de date. (În foaia de calcul, lambda este o intrare, astfel încât să puteți experimenta cu sensibilitatea sa).

rezumat

Volatilitatea este abaterea standard instantanee a unui stoc și cea mai frecventă valoare a riscului. Este, de asemenea, rădăcina pătrată a varianței. Putem măsura varianța istoric sau implicit (volatilitatea implicită). La măsurarea istorică, cea mai ușoară metodă este o varianță simplă. Dar slăbiciunea cu o varianță simplă este că toate randamentele au aceeași pondere. Așadar, ne confruntăm cu un compromis clasic: vrem întotdeauna mai multe date, dar cu cât avem mai multe date, cu atât calculul nostru este diluat de date îndepărtate (mai puțin relevante). Media mobilă ponderată exponențial (EWMA) îmbunătățește varianța simplă prin atribuirea ponderilor randamentelor periodice. Făcând acest lucru, putem folosi amândoi o dimensiune mare a eșantionului, dar, de asemenea, acordăm o pondere mai mare randamentelor mai recente.