Dobânzile compuse (sau dobânzile compuse) sunt dobânzile la un împrumut sau depozit calculate pe baza atât a principalului inițial, cât și a dobânzii acumulate din perioadele anterioare. Se crede că a apărut în Italia secolului al XVII-lea, dobânda compusă poate fi considerată drept „dobândă la dobândă” și va face ca o sumă să crească la o rată mai rapidă decât dobânda simplă, care se calculează numai pe suma principală.
Rata la care se acumulează dobânda compusă depinde de frecvența compunerii, astfel încât, cu cât este mai mare numărul perioadelor de compunere, cu atât este mai mare dobânda compusă. Astfel, suma dobânzii compuse acumulate la 100 USD compuse la 10% anual va fi mai mică decât cea la 100 USD compusă la 5% semestrial în aceeași perioadă de timp. Deoarece efectul dobânzii la dobândă poate genera randamente din ce în ce mai pozitive pe baza sumei inițiale a principalului, uneori a fost denumit „miracolul dobânzii compuse”.
Chei de luat masa
Dobânda compusă (sau dobânda compusă) este dobânda calculată la principalul inițial, care include, de asemenea, toate dobânzile acumulate din perioadele anterioare pentru un depozit sau împrumut.
Dobânda compusă se calculează înmulțind suma inițială a principalului cu una plus rata dobânzii anuale crescută la numărul de perioade compuse minus una.
Dobânda se poate compune pe orice program de frecvență dat, de la continuu la zilnic până la anual.
La calcularea dobânzii compuse, numărul perioadelor de compunere face o diferență semnificativă.
Calculul dobânzii compuse
Dobânda compusă se calculează prin înmulțirea sumei inițiale a principalului cu una plus rata dobânzii anuale crescută la numărul de perioade compuse minus una. Suma totală inițială a împrumutului este apoi scăzută din valoarea rezultată.
Formula pentru calcularea dobânzii compuse este:
Dobândă compusă = suma totală a principalului și dobânzile în viitor (sau valoarea viitoare) minus suma principalului în prezent (sau valoarea actuală)
= [P (1 + i ) n ] – P
= P [(1 + i ) n – 1]
Unde:
P = principal
i = rata nominală anuală a dobânzii în termeni procentuali
n = numărul perioadelor de compunere
Luați un împrumut pe trei ani de 10.000 USD la o rată a dobânzii de 5% pe care o compune anual. Care ar fi suma dobânzii? În acest caz, ar fi:
Folosind exemplul de mai sus, întrucât dobânda compusă ia în considerare și dobânda acumulată în perioadele anterioare, valoarea dobânzii nu este aceeași pentru toți cei trei ani, deoarece ar fi cu dobândă simplă. În timp ce dobânda totală de plătit pe perioada de trei ani a acestui împrumut este de 1.576,25 USD, dobânda de plătit la sfârșitul fiecărui an este prezentată în tabelul de mai jos.
Perioade compuse
La calcularea dobânzii compuse, numărul perioadelor de compunere face o diferență semnificativă. Regula de bază este că, cu cât este mai mare numărul perioadelor de compunere, cu atât este mai mare valoarea dobânzii compuse.
Tabelul următor demonstrează diferența pe care o poate face numărul perioadelor compuse pentru un împrumut de 10.000 USD cu o rată a dobânzii anuală de 10% pe o perioadă de 10 ani.
Dobânzile compuse pot crește semnificativ randamentele investițiilor pe termen lung.În timp ce un depozit de 100.000 USD care primește dobândă anuală simplă de 5% ar câștiga o dobândă totală de 50.000 USD în decurs de 10 ani, dobânda anuală compusă de 5% la 10.000 USD s-ar ridica la 62.889,46 USD în aceeași perioadă. Dacă perioada de compunere ar fi plătită lunar în aceeași perioadă de 10 ani la o dobândă compusă de 5%, dobânda totală ar crește în schimb la 64.700,95 dolari.
Calcul de compunere Excel
Dacă a trecut ceva timp de la cursurile de matematică, nu vă temeți: există instrumente la îndemână pentru a ajuta la calcularea compoziției. Multe calculatoare (atât portabile, cât și computerizate) au funcții exponente care pot fi utilizate în aceste scopuri. Dacă apar sarcini mai complicate de compunere, acestea pot fi realizate utilizând Microsoft Excel – în trei moduri diferite.
Prima modalitate de calculare a dobânzii compuse este înmulțirea noului sold al fiecărui an cu rata dobânzii. Să presupunem că depuneți 1.000 USD într-un cont de economii cu o rată a dobânzii de 5% care se compune anual și doriți să calculați soldul în cinci ani. În Microsoft Excel, introduceți „An” în celula A1 și „Sold” în celula B1. Introduceți anii 0-5 în celulele A2 până la A7. Soldul pentru anul 0 este de 1.000 USD, deci ați introduce „1000” în celula B2. Apoi, introduceți „= B2 * 1.05” în celula B3. Apoi introduceți „= B3 * 1.05” în celula B4 și continuați să faceți acest lucru până ajungeți la celula B7. În celula B7, calculul este „= B6 * 1,05”. În cele din urmă, valoarea calculată în celula B7 – 1.276,28 USD – este soldul din contul dvs. de economii după cinci ani. Pentru a găsi valoarea dobânzii compuse, scădeți 1.000 USD din 1.276,28 USD; acest lucru vă oferă o valoare de 276,28 USD.
A doua modalitate de calcul al dobânzii compuse este utilizarea unei formule fixe. Formula dobânzii compuse este ((P * (1 + i) ^ n) – P), unde P este principalul, i este rata anuală a dobânzii și n este numărul de perioade. Folosind aceleași informații de mai sus, introduceți „Valoarea principală” în celula A1 și 1000 în celula B1. Apoi, introduceți „Rata dobânzii” în celula A2 și „.05” în celula B2. Introduceți „Perioade compuse” în celula A3 și „5” în celula B3. Acum puteți calcula dobânda compusă în celula B4 introducând „= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1”, ceea ce vă oferă 276,28 USD.
O a treia modalitate de calcul al dobânzii compuse este crearea unei funcții macro. Mai întâi porniți Editorul Visual Basic, care se află în fila dezvoltator. Faceți clic pe meniul Insert și faceți clic pe Module. Apoi tastați „Funcție Compound_Interest (P Ca Dublu, i Ca Dublu, n Ca Dublu) Ca Dublu” în prima linie. Pe a doua linie, apăsați tasta tab și tastați „Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) – P.” Pe a treia linie a modulului, introduceți „Funcție de sfârșit”. Ați creat o macro funcțională pentru a calcula rata dobânzii compuse. Continuând din aceeași foaie de lucru Excel de mai sus, introduceți „Dobândă compusă” în celula A6 și introduceți „= Interes_Compus (B1, B2, B3).” Aceasta vă oferă o valoare de 276,28 USD, care este în concordanță cu primele două valori.
Utilizarea altor calculatoare
După cum sa menționat mai sus, o serie de calculatoare gratuite de dobândă compuse sunt oferite online, iar multe calculatoare portabile pot îndeplini și aceste sarcini.
Calculatorul gratuit al dobânzii compuse oferit prin Financial-Calculators.com este simplu de operat și oferă opțiuni de frecvență compuse de la zi la zi, anual. Include o opțiune de selectare a compunerii continue și permite, de asemenea, introducerea datelor efective și de începere a calendarului. După introducerea datelor de calcul necesare, rezultatele arată dobânda câștigată, valoarea viitoare, randamentul procentual anual (APY), care este o măsură care include compunerea și dobânda zilnică.
Investor.gov, un site web administrat de Securities and Exchange Commission (SEC) din SUA, oferă un calculator online gratuit de dobândă compusă. Calculatorul este destul de simplu, dar permite intrări de depozite suplimentare lunare către principal, ceea ce este util pentru calcularea câștigurilor în cazul în care se depun economii lunare suplimentare.
Un calculator de dobândă online gratuit cu câteva funcții este disponibil la TheCalculatorSite.com. Acest calculator permite calcule pentru diferite valute, capacitatea de a lua în calcul depozitele lunare sau retragerile și opțiunea de a avea creșteri ajustate la inflație la depozitele lunare sau retragerile calculate automat.
Frecvența compunerii
Dobânzile pot fi compuse pe orice program de frecvență dat, de la zi la zi. Există programe standard de frecvență de compunere care se aplică de obicei instrumentelor financiare.
Programul de compunere utilizat în mod obișnuit pentru piața monetară, este adesea zilnic. Pentru împrumuturile ipotecare la domiciliu, împrumuturile de capital propriu, împrumuturile de afaceri personale sau conturile de card de credit, cel mai frecvent program de compunere aplicat este lunar.
De asemenea, pot exista variații în intervalul de timp în care dobânda acumulată este creditată efectiv la soldul existent. Dobânzile la un cont pot fi compuse zilnic, dar creditate numai lunar. Abia atunci când dobânda este de fapt creditată sau adăugată la soldul existent, începe să câștige dobândă suplimentară în cont.
Unele bănci oferă, de asemenea, ceva numit dobândă care compune continuu, care adaugă dobândă principalului în orice moment posibil. În scopuri practice, nu acumulează mult mai mult decât dobânda zilnică compusă, cu excepția cazului în care doriți să puneți bani și să îi scoateți în aceeași zi.
Compunerea mai frecventă a dobânzii este benefică pentru investitor sau creditor. Pentru un împrumutat, opusul este adevărat.
Analiza valorii timpului banilor
Înțelegerea valorii în timp a banilor și creșterea exponențială creată prin compunere este esențială pentru investitorii care doresc să-și optimizeze veniturile și alocarea averii.
Formula pentru obținerea valorii viitoare (FV) și a valorii actuale (PV) sunt după cum urmează:
FV = PV (1 + i) n și PV = FV / (1 + i) n
De exemplu, valoarea viitoare de 10.000 USD a fost compusă la 5% anual timp de trei ani:
= 10.000 $ (1 + 0,05)
3
= 10.000 USD (1.157625)
= 11.576,25 dolari
Valoarea actuală de 11.576,25 USD redusă la 5% timp de trei ani:
= 11.576,25 dolari / (1 + 0,05)
3
= 11.576,25 dolari / 1,157625
= 10.000 USD
Reciprocitatea de 1,157625, care este egală cu 0,8638376, este factorul de reducere în acest caz.
Considerentul „Regula celor 72”
Așa-numita regulă a lui 72 calculează timpul aproximativ în care o investiție se va dubla la o rată dată a rentabilității sau a dobânzii „i” și este dată de (72 / i). Poate fi utilizat numai pentru compoziția anuală.
De exemplu, o investiție care are o rată de rentabilitate anuală de 6% se va dubla în 12 ani. O investiție cu o rată de rentabilitate anuală de 8% se va dubla astfel în nouă ani.
Rata anuală de creștere compusă (CAGR)
Rata de creștere anuală compusă (CAGR) este utilizată pentru majoritatea aplicațiilor financiare care necesită calcularea unei singure rate de creștere pe o perioadă de timp.
Să presupunem că portofoliul dvs. de investiții a crescut de la 10.000 $ la 16.000 $ pe parcursul a cinci ani; ce este CAGR? În esență, aceasta înseamnă că PV = – 10.000 $, FV = 16.000 $ și nt = 5, deci variabila „i” trebuie calculată. Folosind un calculator financiar sau Excel, se poate arăta că i = 9,86%.
Conform convenției privind fluxul de numerar, investiția dvs. inițială (PV) de 10.000 USD este afișată cu un semn negativ, deoarece reprezintă o ieșire de fonduri. PV și FV trebuie să aibă neapărat semne opuse pentru a rezolva „i” în ecuația de mai sus.
Aplicații CAGR în viața reală
CAGR este utilizat pe scară largă pentru a calcula randamentele pe perioade de timp pentru acțiuni, fonduri mutuale și portofolii de investiții. CAGR este, de asemenea, utilizat pentru a stabili dacă un administrator de fonduri mutuale sau un administrator de portofoliu a depășit rata de rentabilitate a pieței pe o perioadă de timp. Dacă, de exemplu, un indice de piață a furnizat randamente totale de 10% pe o perioadă de cinci ani, dar un administrator de fond a generat numai randamente anuale de 9% în aceeași perioadă, managerul a performat slab pe piață.
CAGR poate fi, de asemenea, utilizat pentru a calcula rata de creștere preconizată a portofoliilor de investiții pe perioade lungi de timp, care este utilă în scopuri precum economisirea pentru pensionare. Luați în considerare următoarele exemple:
Exemplul 1: Un investitor avers la risc este mulțumit de o rată modestă de rentabilitate anuală de 3% a portofoliului său. Portofoliul ei actual de 100.000 de dolari ar crește, prin urmare, la 180.611 dolari după 20 de ani. În schimb, un investitor tolerant la risc care se așteaptă la o rentabilitate anuală de 6% din portofoliul său ar putea crește 100.000 de dolari la 320.714 dolari după 20 de ani.
Exemplul 2: CAGR poate fi utilizat pentru a estima cât trebuie depozitat pentru a economisi pentru un obiectiv specific. Un cuplu care ar dori să economisească 50.000 de dolari pe parcursul a 10 ani pentru achitarea unui apartament ar trebui să economisească 4.165 dolari pe an dacă își asumă o rentabilitate anuală (CAGR) de 4% din economiile lor. Dacă sunt pregătiți să își asume un risc suplimentar și se așteaptă la un CAGR de 5%, ar trebui să economisească 3.975 USD anual.
Exemplul 3: CAGR poate fi, de asemenea, utilizat pentru a demonstra virtuțile investițiilor mai devreme decât mai târziu în viață. Dacă obiectivul este de a economisi 1 milion de dolari până la pensionare la 65 de ani, pe baza unui CAGR de 6%, un tânăr de 25 de ani ar trebui să economisească 6.462 dolari pe an pentru a atinge acest obiectiv. Un bărbat în vârstă de 40 de ani, pe de altă parte, ar trebui să economisească 18.227 dolari, sau de aproape trei ori mai mult decât suma respectivă, pentru a atinge același obiectiv.
CAGR-urile apar, de asemenea, frecvent în datele economice. Iată un exemplu: PIB-ul pe cap de locuitor al Chinei a crescut de la 193 USD în 1980 la 6.091 USD în 2012. Care este creșterea anuală a PIB-ului pe cap de locuitor în această perioadă de 32 de ani? Rata de creștere „i” în acest caz este de 11,4%.
Pro și contra de compunere
În timp ce magia compunerii a condus la povestea apocrifă a lui Albert Einstein numind-o cea de-a opta minune a lumii sau cea mai mare invenție a omului, compunerea poate funcționa și împotriva consumatorilor care au împrumuturi care au rate de dobândă foarte mari, cum ar fi datoria cardului de credit. Un sold al cardului de credit de 20.000 USD transportat la o rată a dobânzii de 20% compusă lunar ar duce la dobânzi compuse totale de 4.388 USD pe un an sau aproximativ 365 USD pe lună.
Pe latura pozitivă, magia compunerii poate funcționa în avantajul dvs. atunci când vine vorba de investiții și poate fi un factor puternic în crearea bogăției. Creșterea exponențială a dobânzii compuse este, de asemenea, importantă în atenuarea factorilor de erodare a bogăției, cum ar fi creșterea costului vieții, inflația și reducerea puterii de cumpărare.
Fondurile mutuale oferă una dintre cele mai simple modalități pentru investitori de a profita de avantajele dobânzii compuse. Optarea pentru reinvestirea dividendelor derivate din fondul mutual duce la achiziționarea mai multor acțiuni ale fondului. Dobânda mai compusă se acumulează în timp, iar ciclul de cumpărare a mai multor acțiuni va continua să ajute investiția în fond să crească în valoare.
Luați în considerare o investiție a fondului mutual deschis cu o sumă inițială de 5.000 USD și o adăugare anuală de 2.400 USD. Cu o rentabilitate anuală medie de 12% de 30 de ani, valoarea viitoare a fondului este de 798.500 USD. Dobânda compusă este diferența dintre numerarul contribuit la investiție și valoarea reală viitoare a investiției. În acest caz, contribuind cu 77.000 USD sau cu o contribuție cumulată de doar 200 USD pe lună, pe parcursul a 30 de ani, dobânda compusă este de 721.500 USD din soldul viitor.
Desigur, câștigurile din dobânzi compuse sunt impozabile, cu excepția cazului în care banii se află într-un cont protejat de impozite; este impozitată în mod obișnuit la rata standard asociată cu nivelul fiscal al contribuabilului.
Investiții cu dobânzi compuse
Un investitor care optează pentru un plan de reinvestire într-un cont de brokeraj folosește în esență puterea de a compune în orice investește. Investitorii pot experimenta, de asemenea, dobânda combinată cu cumpărarea unei obligațiuni cu cupon zero. Emisiile tradiționale de obligațiuni oferă investitorilor plăți periodice ale dobânzilor pe baza condițiilor inițiale ale emisiunii de obligațiuni și, deoarece acestea sunt plătite investitorului sub forma unui cec, dobânda nu se compune.
Obligațiunile cu cupon zero nu trimit cecuri de dobândă investitorilor; în schimb, acest tip de obligațiune este cumpărat cu o reducere la valoarea inițială și crește în timp. Emitenții de obligațiuni cu cupoane zero utilizează puterea de compunere pentru a crește valoarea obligațiunii, astfel încât să atingă prețul maxim la scadență.
Compunerea poate funcționa și pentru dvs. atunci când efectuați rambursări de împrumut. Efectuarea a jumătate din plata ipotecii dvs. de două ori pe lună, de exemplu, mai degrabă decât efectuarea plății integrale o dată pe lună, va sfârși prin reducerea perioadei de amortizare și va economisi o sumă substanțială de dobândă.
Apropo de împrumuturi…
Spunând dacă interesul este compus
Legea Adevărului în Împrumut (TILA) impune ca împrumutătorii să dezvăluie condițiile de împrumut potențialilor împrumutători, inclusiv suma totală a dobânzii care trebuie rambursată pe durata de viață a împrumutului și dacă dobânda se acumulează simplu sau se compune.
O altă metodă este de a compara rata dobânzii unui împrumut cu rata procentuală anuală (APR), pe care TILA le cere, de asemenea, să le dezvăluie creditorii. APR convertește cheltuielile financiare ale împrumutului dvs., care includ toate dobânzile și comisioanele, la o rată simplă a dobânzii. O diferență substanțială între rata dobânzii și DAE înseamnă unul sau ambele scenarii: Împrumutul dvs. utilizează dobânzi compuse sau include comisioane puternice de împrumut în plus față de dobândă. Chiar și atunci când vine vorba de același tip de împrumut, gama APR poate varia foarte mult între creditori, în funcție de onorariile instituției financiare și de alte costuri.
Veți observa că rata dobânzii care vă este taxată depinde și de creditul dvs. Împrumuturile oferite celor cu un credit excelent au rate ale dobânzii semnificativ mai mici decât cele percepute celor cu un credit slab.
întrebări frecvente
Ce este o definiție simplă a dobânzii compuse?
Dobânda compusă se referă la fenomenul prin care dobânda asociată unui cont bancar, împrumut sau investiție crește exponențial – mai degrabă decât liniar – în timp. Cheia înțelegerii conceptului este cuvântul „compus”. Să presupunem că faceți o investiție de 100 USD într-o afacere care vă plătește un dividend de 10% în fiecare an. Aveți posibilitatea de a alege fie să încorporați acele plăți de dividende ca numerar, fie să reinvestiți aceste plăți în acțiuni suplimentare. Dacă alegeți a doua opțiune, reinvestind dividendele și combinându-le împreună cu investiția inițială de 100 USD, atunci randamentele pe care le generați vor începe să crească în timp.
Cine beneficiază de dobândă compusă?
Pur și simplu, dobânda compusă beneficiază investitorii, dar semnificația „investitorilor” poate fi destul de largă. Băncile, de exemplu, beneficiază de dobânzi compuse atunci când împrumută bani și reinvestesc dobânda pe care o primesc în acordarea de împrumuturi suplimentare. Deponenții beneficiază, de asemenea, de dobânzi compuse atunci când primesc dobânzi pentru conturile lor bancare, obligațiuni sau alte investiții. Este important să rețineți că, deși termenul „dobândă compusă” include cuvântul „dobândă”, conceptul se aplică dincolo de situațiile în care cuvântul dobândă este de obicei folosit, cum ar fi conturile bancare și împrumuturile.
Dobânda compusă te poate îmbogăți?
Da. De fapt, interesul compus este, fără îndoială, cea mai puternică forță de generare a bogăției concepută vreodată. Există înregistrări ale comercianților, creditorilor și diferiților oameni de afaceri care folosesc dobânzi compuse pentru a se îmbogăți literalmente mii de ani. În orașul antic Babilon, de exemplu, tablele de lut au fost folosite în urmă cu peste 4000 de ani pentru a instrui elevii cu privire la matematica de interes compus.
În vremurile moderne, Warren Buffett a devenit unul dintre cei mai bogați oameni din lume printr-o strategie de afaceri care presupunea compunerea cu sârguință și răbdare a rentabilității investițiilor sale pe perioade lungi de timp. Este probabil ca, într-o formă sau alta, oamenii să utilizeze dobânzi compuse pentru a genera bogăție în viitorul previzibil.