Probabilitate condițională

Ce este probabilitatea condiționată?

Probabilitatea condițională este definită ca probabilitatea apariției unui eveniment sau rezultat, pe baza apariției unui eveniment sau rezultat anterior. Probabilitatea condițională este calculată prin înmulțirea probabilității evenimentului precedent cu probabilitatea actualizată a evenimentului succesiv sau condițional.

De exemplu:

• Evenimentul A este că o persoană care solicită o facultate va fi acceptată. Există 80% șanse ca această persoană să fie acceptată la facultate.
• Evenimentul B este acela că acestei persoane i se vor oferi locuințe în cămin. Locuința în cămin va fi asigurată numai pentru 60% din totalul studenților acceptați.
• P (Carcasă acceptată și cămin) = P (Carcasă cămin | Acceptată) P (Acceptată) = (0,60) * (0,80) = 0,48.

O probabilitate condițională ar privi aceste două evenimente în relație una cu cealaltă, cum ar fi probabilitatea că amândoi sunteți acceptați la facultate  și  vi se oferă locuințe în cămin.

Probabilitatea condiționată poate fi pusă în contrast cu probabilitatea necondiționată. Probabilitatea necondiționată se referă la probabilitatea ca un eveniment să aibă loc, indiferent dacă au avut loc alte evenimente sau dacă există alte condiții.

Chei de luat masa

• Probabilitatea condițională se referă la șansele ca un anumit rezultat să apară având în vedere că a avut loc și un alt eveniment.
• Este adesea menționat ca probabilitatea lui B dat de A și este scris ca P (B | A), unde probabilitatea lui B depinde de cea a A care se întâmplă.
• Probabilitatea condiționată poate fi pusă în contrast cu probabilitatea necondiționată.

Înțelegerea probabilității condiționate

După cum sa menționat anterior, probabilitățile condiționate sunt dependente de un rezultat anterior. De asemenea, face o serie de ipoteze. De exemplu, să presupunem că trageți trei bile – roșu, albastru și verde – dintr-o pungă. Fiecare marmură are șanse egale de a fi desenată. Care este probabilitatea condiționată de a trage marmura roșie după ce a desenat deja cea albastră?

În primul rând, probabilitatea de a desena o marmură albastră este de aproximativ 33%, deoarece este un posibil rezultat din trei. Presupunând că are loc acest prim eveniment, vor mai rămâne două bile, fiecare având 50% șanse să fie extrase. Deci, șansa de a desena o marmură albastră după ce ați desenat deja o marmură roșie ar fi de aproximativ 16,5% (33% x 50%).

Ca un alt exemplu pentru a oferi o perspectivă suplimentară asupra acestui concept, luați în considerare faptul că o matriță corectă a fost aruncată și vi se cere să dați probabilitatea ca acesta să fie un cinci. Există șase rezultate la fel de probabile, deci răspunsul dvs. este 1/6. Dar imaginați-vă dacă înainte de a răspunde, veți obține informații suplimentare că numărul rulat a fost impar. Deoarece sunt posibile doar trei numere impare, dintre care unul este cinci, cu siguranță vă veți revizui estimarea pentru probabilitatea ca un cinci să fie rulat de la 1/6 la 1/3.

Această   probabilitate revizuită ca un eveniment  A să  aibă loc, având în vedere informațiile suplimentare pe care un alt eveniment  B le-  a avut cu siguranță în acest proces al experimentului, se numește  probabilitatea condițională a lui  A  dat  B  și este notată cu P (A | B).

Formula probabilității condiționate

P (B | A) = P (A și B) / P (A)

Sau:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Un alt exemplu de probabilitate condiționată

Ca alt exemplu, să presupunem că un student solicită admiterea la o universitate și speră să primească o bursă academică. Școala la care aplică acceptă 100 din 1000 de candidați (10%) și acordă burse academice 10 din 500 de studenți care sunt acceptați (2%). Dintre beneficiarii burselor, 50% dintre aceștia primesc, de asemenea, bursele universitare pentru cărți, mese și locuințe. Pentru studenții noștri ambițioși, șansa ca aceștia să fie acceptați apoi să primească o bursă este de.2% (.1 x.02). Șansa ca aceștia să fie acceptați, să primească bursa, apoi să primească și o bursă pentru cărți etc. este de.1% (.1 x.02 x.5). (Puteți consulta, de asemenea, teorema lui Bayes.)

Probabilitatea condițională față de probabilitatea comună și probabilitatea marginală

Probabilitate condițională : p (A | B) este probabilitatea apariției evenimentului A, având în vedere că apare evenimentul B. Exemplu: având în vedere că ați desenat un cartonaș roșu, care este probabilitatea ca acesta să fie patru (p (patru | roșu)) = 2/26 = 1/13. Deci, din cele 26 de cărți roșii (cărții cărora le-a fost dat) sunt două patru, deci 2/26 = 1/13.

Probabilitate marginală : probabilitatea producerii unui eveniment (p (A)), poate fi considerată o probabilitate necondiționată. Nu este condiționat de un alt eveniment. Exemplu: probabilitatea ca o carte extrasă să fie roșie (p (roșu) = 0,5). Un alt exemplu: probabilitatea ca o carte extrasă să fie 4 (p (patru) = 1/13).

Probabilitate comună : p (A și B). Probabilitatea apariției evenimentului A  și a  evenimentului B. Este probabilitatea intersecției a două sau mai multe evenimente. Probabilitatea intersecției lui A și B poate fi scrisă p (A ∩ B). Exemplu: probabilitatea ca un card să fie patru și roșu = p (patru și roșu) = 2/52 = 1/26. (Există două picioare roșii într-o punte de 52, 4 de inimi și 4 de diamante).

Teorema lui Bayes

Teorema lui Bayes, numită după matematicianul britanic Thomas Bayes din secolul al XVIII-lea, este o formulă matematică pentru determinarea probabilității condiționate. Teorema oferă o modalitate de a revizui predicțiile sau teoriile existente (probabilități de actualizare), având în vedere dovezi noi sau suplimentare. În finanțe, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a evalua riscul împrumutului de bani potențialilor împrumutători.

Teorema lui Bayes mai este numită regula lui Bayes sau legea lui Bayes și este fundamentul domeniului statisticilor bayesiene. Acest set de reguli de probabilitate permite actualizarea predicțiilor evenimentelor care au loc pe baza informațiilor noi primite, făcând estimări mai bune și mai dinamice.