1 mai 2021 16:08
Consilierul dvs. de investiții vă propune un plan lunar de investiții cu venituri care promite o rentabilitate variabilă în fiecare lună. Veți investi în acesta numai dacă sunteți asigurat de un venit mediu lunar de 180 USD. De asemenea, consilierul dvs. vă spune că, în ultimele 300 de luni, schema a avut randamente investiționale cu o valoare medie de 190 USD și o abatere standard de 75 USD. Ar trebui să investiți în acest sistem? Testarea ipotezei vine în ajutor pentru o astfel de luare a deciziilor.
Chei de luat masa
- Testarea ipotezei este un instrument matematic pentru confirmarea unei cereri sau idei financiare sau de afaceri.
- Testarea ipotezei este utilă pentru investitorii care încearcă să decidă în ce să investească și dacă instrumentul va oferi o rentabilitate satisfăcătoare.
- În ciuda existenței diferitelor metodologii de testare a ipotezelor, se utilizează aceiași patru pași: definirea ipotezei, stabilirea criteriilor, calcularea statisticii și obținerea unei concluzii.
- Acest model matematic, la fel ca majoritatea instrumentelor și modelelor statistice, are limitări și este predispus la anumite erori, necesitând investitorii să ia în considerare și alte modele împreună cu acesta
Ce este testarea ipotezei?
Testarea ipotezei sau a semnificației este un model matematic pentru testarea unei afirmații, idei sau ipoteze despre un parametru de interes într-un anumit set de populație, utilizând date măsurate într-un set de eșantioane. Calculele sunt efectuate pe eșantioane selectate pentru a culege informații mai decisive despre caracteristicile întregii populații, ceea ce permite un mod sistematic de testare a revendicărilor sau ideilor despre întregul set de date.
Iată un exemplu simplu: un director de școală raportează că elevii din școala lor înregistrează o medie de 7 din 10 la examene. Pentru a testa această „ipoteză”, înregistrăm notele a 30 de elevi (eșantion) din întreaga populație de elevi ai școlii (300) și calculăm media eșantionului respectiv. Putem apoi să comparăm media eșantionului (calculat) cu media populației (raportată) și să încercăm să confirmăm ipoteza.
Pentru a lua un alt exemplu, randamentul anual al unui anumit fond mutual este de 8%. Să presupunem că fondul mutual există de 20 de ani. Luăm un eșantion aleatoriu de rentabilități anuale ale fondului mutual pentru, să zicem, cinci ani (eșantion) și calculăm media acestuia. Apoi comparăm media eșantionului (calculat) cu media populației (revendicate) pentru a verifica ipoteza.
Acest articol presupune familiarizarea cititorilor cu conceptele unui tabel de distribuție normal, formula, valoarea p și elementele de bază aferente statisticii.
Există diferite metodologii pentru testarea ipotezelor, dar sunt implicați aceiași patru pași de bază:
Pasul 1: Definiți ipoteza
De obicei, valoarea raportată (sau statisticile privind reclamația) este declarată ca ipoteză și se presupune că este adevărată. Pentru exemplele de mai sus, ipoteza va fi:
- Exemplul A: Elevii din școală înregistrează o medie de 7 din 10 la examene.
- Exemplul B: randamentul anual al fondului mutual este de 8% pe an.
Această descriere declarată constituie „ Ipoteza nulă (H 0 ) ” și se presupune că este adevărată – modul în care un inculpat într-un proces cu juriu este considerat nevinovat până când se dovedește vinovat de probele prezentate în instanță. În mod similar, testarea ipotezelor începe prin afirmarea și asumarea unei „ ipoteze nule ”, iar apoi procesul determină dacă presupunerea este probabil să fie adevărată sau falsă.
Punctul important de remarcat este că testăm ipoteza nulă, deoarece există un element de îndoială cu privire la validitatea acesteia. Orice informație care este împotriva ipotezei nule declarate este capturată în Ipoteza alternativă (H 1 ). Pentru exemplele de mai sus, ipoteza alternativă va fi:
- Elevii înregistrează o medie care nu este egală cu 7.
- Randamentul anual al fondului mutual nu este egal cu 8% pe an.
Cu alte cuvinte, ipoteza alternativă este o contradicție directă a ipotezei nule.
La fel ca într-un proces, juriul își asumă nevinovăția inculpatului (ipoteză nulă). Procurorul trebuie să demonstreze contrariul (ipoteză alternativă). În mod similar, cercetătorul trebuie să demonstreze că ipoteza nulă este fie adevărată, fie falsă. În cazul în care procurorul nu reușește să demonstreze ipoteza alternativă, juriul trebuie să îl lase pe inculpat să plece (bazând decizia pe ipoteza nulă). În mod similar, dacă cercetătorul nu reușește să demonstreze o ipoteză alternativă (sau pur și simplu nu face nimic), atunci se presupune că ipoteza nulă este adevărată.
Criteriile de luare a deciziilor trebuie să se bazeze pe anumiți parametri ai seturilor de date.
Pasul 2: Setați criteriile
Criteriile de luare a deciziilor trebuie să se bazeze pe anumiți parametri ai seturilor de date și aici intră în imagine conexiunea cu distribuția normală.
Conform statisticilor standard, postulează despre distribuția eșantionării : „Pentru orice dimensiune a eșantionului n, distribuția eșantionării lui X̅ este normală dacă populația X din care este extrasă eșantionul este distribuită în mod normal.” Prin urmare, probabilitățile tuturor celorlalte eșantioane posibile înseamnă că s-ar putea selecta sunt distribuite în mod normal.
De exemplu, determinați dacă randamentul mediu zilnic, al oricărui stoc listat pe piața de valori XYZ, în jurul zilei de Anul Nou este mai mare de 2%.
H 0 : Ipoteză nulă: medie = 2%
H 1 : Ipoteză alternativă: medie> 2% (asta vrem să dovedim)
Luați eșantionul (să zicem de 50 stocuri din totalul 500) și calculați media eșantionului.
Pentru o distribuție normală, 95% din valori se încadrează în două abateri standard ale mediei populației. Prin urmare, această distribuție normală și presupunerea limitei centrale pentru setul de date eșantion ne permite să stabilim 5% ca nivel de semnificație. Are sens deoarece, sub această ipoteză, există o probabilitate mai mică de 5% (100-95) de a obține valori aberante care depășesc două abateri standard de la media populației. În funcție de natura seturilor de date, alte niveluri de semnificație pot fi luate la 1%, 5% sau 10%. Pentru calculele financiare (inclusiv finanțarea comportamentală), 5% este limita general acceptată. Dacă găsim calcule care depășesc cele două abateri standard obișnuite, atunci avem un caz puternic de valori aberante pentru a respinge ipoteza nulă.
Grafic, este reprezentat după cum urmează:
În exemplul de mai sus, dacă media eșantionului este mult mai mare de 2% (să spunem 3,5%), atunci respingem ipoteza nulă. Ipoteza alternativă (medie> 2%) este acceptată, ceea ce confirmă că randamentul mediu zilnic al stocurilor este într-adevăr peste 2%.
Cu toate acestea, dacă media eșantionului nu este probabil să fie semnificativ mai mare de 2% (și rămâne la, să zicem, în jur de 2,2%), atunci NU PUTEM respinge ipoteza nulă. Provocarea vine cu privire la modul de a decide cu privire la astfel de cazuri de apropiere. Pentru a face o concluzie din probele și rezultatele selectate, trebuie determinat un nivel de semnificație, care să permită o concluzie cu privire la ipoteza nulă. Ipoteza alternativă permite stabilirea nivelului de semnificație sau a conceptului de „valoare critică” pentru luarea deciziilor cu privire la astfel de cazuri de apropiere.
Conformdefiniției standard a manualului, „O valoare critică este o valoare limită care definește limitele dincolo de care mai puțin de 5% din mijloacele eșantionului pot fi obținute dacă ipoteza nulă este adevărată. Eșantionul de mijloace obținute dincolo de o valoare critică va avea ca rezultat o decizie de a respinge ipoteza nulă. ” În exemplul de mai sus, dacă am definit valoarea critică ca 2,1%, iar media calculată ajunge la 2,2%, atunci respingem ipoteză nulă. O valoare critică stabilește o delimitare clară despre acceptare sau respingere.
Pasul 3: Calculați statistica
Acest pas implică calcularea cifrelor necesare, cunoscute sub numele de statistici de testare (cum ar fi media, scorul z, valoarea p etc.) pentru eșantionul selectat. (Vom ajunge la acestea într-o secțiune ulterioară.)
Pasul 4: ajungeți la o concluzie
Cu valoarea (valorile) calculată (e), decideți asupra ipotezei nule. Dacă probabilitatea de a obține o probă medie este mai mică de 5%, atunci concluzia este de a respinge ipoteza nulă. În caz contrar, acceptați și păstrați ipoteza nulă.
Tipuri de erori
Pot exista patru rezultate posibile în luarea deciziilor bazate pe eșantion, în ceea ce privește aplicabilitatea corectă la întreaga populație:
Cazurile „corecte” sunt cele în care deciziile luate cu privire la eșantioane sunt cu adevărat aplicabile întregii populații. Cazurile de erori apar atunci când se decide să rețină (sau să respingă) ipoteza nulă pe baza calculelor eșantionului, dar acea decizie nu se aplică cu adevărat pentru întreaga populație. Aceste cazuri constituie erori de tip 1 ( alfa ) și de tip 2 ( beta ), așa cum este indicat în tabelul de mai sus.
Selectarea valorii critice corecte permite eliminarea erorilor alfa de tip 1 sau limitarea acestora la un interval acceptabil.
Alfa denotă eroarea la nivel de semnificație și este determinată de cercetător. Pentru a menține semnificația standard de 5% sau nivelul de încredere pentru calculele de probabilitate, acesta este menținut la 5%.
În conformitate cu criteriile și definițiile aplicabile în luarea deciziilor:
- „Acest criteriu (alfa) este de obicei stabilit la 0,05 (a = 0,05) și comparăm nivelul alfa cu valoarea p. Când probabilitatea unei erori de tip I este mai mică de 5% (p <0,05), decidem să respingem ipoteza nulă;în caz contrar, păstrăm ipoteza nulă. ”
- Termenul tehnic utilizat pentru această probabilitate este valoareap. Este definită ca „probabilitatea de a obține un rezultat al eșantionului, dat fiind că valoarea afirmată în ipoteza nulă este adevărată. Valoarea p pentru obținerea unui rezultat al eșantionului este comparată cu nivelul de semnificație. „
- O eroare de tip II, sau eroare beta, este definită ca probabilitatea de a păstra incorect ipoteza nulă, atunci când, de fapt, nu este aplicabilă întregii populații.
Câteva exemple vor demonstra acest lucru și alte calcule.
Exemplul 1
Există un sistem lunar de investiții cu venituri care promite randamente lunare variabile. Un investitor va investi în acesta numai dacă este asigurat de un venit mediu lunar de 180 USD. Investitorul are un eșantion de randamente de 300 de luni, care are o medie de 190 USD și o abatere standard de 75 USD. Ar trebui să investească în acest sistem?
Să stabilim problema. Investitorul va investi în schemă dacă este asigurat de rentabilitatea medie dorită a investitorului de 180 USD.
H 0 : Ipoteză nulă: medie = 180
H 1 : Ipoteză alternativă: medie> 180
Metoda 1: abordarea valorii critice
Identificați o valoare critică X L pentru media eșantionului, care este suficient de mare pentru a respinge ipoteza nulă – adică respingeți ipoteza nulă dacă media eșantionului> = valoarea critică X L
P (identificați o eroare alfa de tip I) = P (respingeți H 0 dat fiind faptul că H 0 este adevărat),
Acest lucru se va realiza atunci când media eșantionului depășește limitele critice.
= P (dat fiind faptul că H 0 este adevărat) = alfa
Grafic, apare după cum urmează:
Luând alfa = 0,05 (adică 5% nivel de semnificație), Z 0,05 = 1,645 (din tabelul Z sau din tabelul de distribuție normal)
=> X L = 180 + 1.645 * (75 / sqrt (300)) = 187.12
Deoarece media eșantionului (190) este mai mare decât valoarea critică (187.12), ipoteza nulă este respinsă și concluzia este că randamentul mediu lunar este într-adevăr mai mare de 180 USD, astfel încât investitorul poate lua în considerare investiția în acest sistem.
Metoda 2: Utilizarea statisticilor de test standardizate
Se poate folosi și valoarea standardizată z.
Statistica testului, Z = (media eșantionului – media populației) / (std-dev / sqrt (numărul eșantioanelor).
Apoi, regiunea de respingere devine următoarea:
Z = (190 – 180) / (75 / sqrt (300)) = 2.309
Regiunea noastră de respingere la un nivel de semnificație de 5% este Z> Z 0,05 = 1,645.
Deoarece Z = 2.309 este mai mare decât 1.645, ipoteza nulă poate fi respinsă cu o concluzie similară menționată mai sus.
Metoda 3: Calculul valorii P.
Ne propunem să identificăm P (media eșantionului> = 190, când media = 180).
= P (Z> = (190- 180) / (75 / sqrt (300))
= P (Z> = 2.309) = 0.0084 = 0.84%
Următorul tabel pentru a deduce calculele valorii p concluzionează că există dovezi confirmate ale randamentului mediu lunar mai mare de 180:
Exemplul 2
Un nou agent de bursă (XYZ) susține că comisioanele lor de brokeraj sunt mai mici decât cele ale brokerului dvs. de acțiuni curent (ABC). Datele disponibile de la o firmă de cercetare independentă indică faptul că media și dev-ul standard al tuturor clienților brokerilor ABC sunt de 18 USD, respectiv 6 USD.
Se ia un eșantion de 100 de clienți ABC și se calculează taxele de brokeraj cu noile rate ale brokerului XYZ. Dacă media eșantionului este de 18,75 USD și dev-ul standard este același (6 USD), se poate face vreo deducție cu privire la diferența facturii medii de brokeraj dintre brokerul ABC și XYZ?
H 0 : Ipoteză nulă: medie = 18
H 1 : Ipoteză alternativă: medie 18 (Aceasta este ceea ce vrem să dovedim.)
Regiunea de respingere: Z = Z 2.5 (presupunând un nivel de semnificație de 5%, împărțit 2,5 pe fiecare parte).
Z = (eșantion mediu – mediu) / (std-dev / sqrt (nr. Eșantioane))
= (18,75 – 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1,25
Această valoare Z calculată se încadrează între cele două limite definite de:
– Z 2,5 = -1,96 și Z 2,5 = 1,96.
Aceasta concluzionează că nu există dovezi suficiente pentru a deduce că există vreo diferență între ratele brokerului dvs. existent și ale noului broker.
Alternativ, valoarea p = P (Z 1,25)
= 2 * 0,1056 = 0,2112 = 21,12% care este mai mare de 0,05 sau 5%, ducând la aceeași concluzie.
Grafic, este reprezentat de următoarele:
Puncte critice pentru metoda de testare hipotetică:
- O metodă statistică bazată pe ipoteze
- Predispus la erori, așa cum este detaliat în ceea ce privește erorile alfa și beta
- Interpretarea valorii p poate fi ambiguă, ducând la rezultate confuze
Linia de fund
Testarea ipotezei permite unui model matematic să valideze o afirmație sau o idee cu un anumit nivel de încredere. Cu toate acestea, la fel ca majoritatea instrumentelor și modelelor statistice, este legat de câteva limitări. Utilizarea acestui model pentru luarea deciziilor financiare ar trebui luată în considerare cu un ochi critic, ținând cont de toate dependențele. Metode alternative precum inferența bayesiană merită, de asemenea, explorate pentru analize similare.