Modelul Black-Scholes, cunoscut și sub numele de modelul Black-Scholes-Merton (BSM), este un model matematic pentru stabilirea prețului unui contract de opțiuni. În special, modelul estimează variația în timp a instrumentelor financiare.
Chei de luat masa
Modelul Black-Scholes Merton (BSM) este o ecuație diferențială utilizată pentru a rezolva prețurile opțiunilor.
Modelul Black-Scholes a câștigat premiul Nobel pentru economie.
Modelul standard BSM este utilizat numai pentru prețul opțiunilor europene, deoarece nu ia în considerare faptul că opțiunile din SUA ar putea fi exercitate înainte de data expirării.
Înțelegerea modelului Black Scholes
Modelul Black-Scholes este unul dintre cele mai importante concepte din teoria financiară modernă. A fost dezvoltat în 1973 de Fischer Black, Robert Merton și Myron Scholes și este încă utilizat pe scară largă astăzi. Este considerată una dintre cele mai bune modalități de a determina prețul corect al opțiunilor. Modelul Black-Scholes necesită cinci variabile de intrare: prețul de vânzare al unei opțiuni, prețul curent al acțiunilor, timpul până la expirare, rata fără risc și volatilitatea.
Numit și Black-Scholes-Merton (BSM), a fost primul model utilizat pe scară largă pentru stabilirea prețurilor opțiunilor. Este folosit pentru a calcula valoarea teoretică a opțiunilor folosind prețurile actuale ale acțiunilor, dividendele așteptate, prețul de grevă al opțiunii, ratele dobânzii preconizate, timpul până la expirare și volatilitatea așteptată.
Ecuația inițială a fost introdusă în lucrarea din 1973 a lui Black și Scholes, „Prețul opțiunilor și pasivelor corporative”, publicată în Journal of Political Economy. Black a decedat cu doi ani înainte ca Scholes și Merton să primească Premiul Nobel pentru economie din 1997 pentru munca depusă pentru găsirea unei noi metode de determinare a valorii instrumentelor derivate.(Premiul Nobel nu este acordat postum; totuși, comitetul Nobel a recunoscut rolul lui Black în modelul Black-Scholes.)
Black-Scholes susține că instrumentele, cum ar fi acțiunile pe acțiuni sau contractele futures, vor avea o distribuție lognormală a prețurilor după o mers aleatoriu, cu deriva și volatilitate constante. Folosind această ipoteză și luând în considerare alte variabile importante, ecuația determină prețul unei opțiuni de apel în stil european.
Intrările pentru ecuația Black-Scholes sunt volatilitatea, prețul activului subiacent, prețul de exercițiu al opțiunii, timpul până la expirarea opțiunii și rata dobânzii fără risc. Cu aceste variabile, teoretic este posibil ca vânzătorii de opțiuni să stabilească prețuri raționale pentru opțiunile pe care le vând.
În plus, modelul prezice că prețul activelor tranzacționate puternic urmează o mișcare browniană geometrică, cu derivă și volatilitate constante. Atunci când este aplicat unei opțiuni pe acțiuni, modelul încorporează variația constantă a prețului acțiunii, valoarea în timp a banilor, prețul de grevă al opțiunii și timpul până la expirarea opțiunii.
Ipoteze Black-Scholes
Modelul Black-Scholes face anumite presupuneri:
Opțiunea este europeană și poate fi exercitată doar la expirare.
Nu se plătesc dividende pe durata opțiunii.
Piețele sunt eficiente (adică, mișcările pieței nu pot fi prezise).
Nu există costuri de tranzacționare la cumpărarea opțiunii.
Rata fără risc și volatilitatea suportului sunt cunoscute și constante.
Randamentele activului suport sunt distribuite în mod normal în jurnal.
În timp ce modelul original Black-Scholes nu a luat în considerare efectele dividendelor plătite pe durata de viață a opțiunii, modelul este adesea adaptat pentru a contabiliza dividendele prin determinarea valorii la data ex-dividend a stocului subiacent. Modelul este, de asemenea, modificat de mulți factori de piață care vând opțiuni pentru a ține cont de efectul opțiunilor care pot fi exercitate înainte de expirare. În mod alternativ, firmele vor utiliza un model trinomial sau modelul Bjerksund-Stensland pentru stabilirea prețurilor opțiunilor de stil american mai frecvent tranzacționate.
Formula Black-Scholes
Matematica implicată în formulă este complicată și poate fi intimidantă. Din fericire, nu este nevoie să cunoașteți sau chiar să înțelegeți matematica pentru a utiliza modelarea Black-Scholes în propriile strategii. Comercianții de opțiuni au acces la o varietate de calculatoare de opțiuni online, iar multe dintre platformele de tranzacționare de astăzi au instrumente solide de analiză a opțiunilor, inclusiv indicatori și foi de calcul care efectuează calculele și generează valorile de preț ale opțiunilor.
Formula opțiunii de apel Black-Scholes este calculată prin înmulțirea prețului acțiunilor cu funcția de distribuție a probabilității normale standard cumulată. Ulterior, valoarea actuală netă (VAN) a prețului de exploatare înmulțită cu distribuția normală standard cumulată este scăzută din valoarea rezultată a calculului anterior.
În notație matematică:
Volatilitate
Black-Scholes presupune că prețurile acțiunilor urmează o distribuție lognormală, deoarece prețurile activelor nu pot fi negative (ele sunt mărginite de zero). Aceasta este, de asemenea, cunoscută sub numele de distribuție gaussiană.
Adesea, se observă că prețurile activelor au o asimetrie corectă semnificativă și un anumit grad de kurtoză (cozi de grăsime). Aceasta înseamnă că mișcările descendente cu risc ridicat se întâmplă adesea mai des pe piață decât prezice o distribuție normală.
Presupunerea prețurilor lognormale ale activelor subiacente ar trebui să arate că volatilitățile implicite sunt similare pentru fiecare preț de grevă, în conformitate cu modelul Black-Scholes. Cu toate acestea, de la prăbușirea pieței din 1987, volatilitățile implicite pentru opțiunile la bani au fost mai mici decât cele aflate în afara banilor sau mult în bani. Motivul acestui fenomen este că piața este prețul, cu o probabilitate mai mare de a se muta cu o volatilitate ridicată la un dezavantaj pe piețe.
Acest lucru a dus la prezența oblică a volatilității. Când volatilitățile implicite pentru opțiuni cu aceeași dată de expirare sunt trasate pe un grafic, se poate vedea un zâmbet sau o formă înclinată. Astfel, modelul Black-Scholes nu este eficient pentru calcularea volatilității implicite.
Limitările modelului Black-Scholes
După cum sa menționat anterior, modelul Black-Scholes este utilizat numai pentru prețul opțiunilor europene și nu ia în considerare faptul că opțiunile din SUA ar putea fi exercitate înainte de data de expirare. Mai mult, modelul presupune că dividendele și ratele fără risc sunt constante, dar acest lucru poate să nu fie adevărat în realitate. Modelul presupune, de asemenea, rămân volatilitate constantă pe durata de viață a opțiunii, ceea ce nu este cazul, deoarece fluctuează de volatilitate cu nivelul ofertei și a cererii.
În plus, celelalte ipoteze – că nu există costuri de tranzacționare sau taxe; că rata dobânzii fără risc este constantă pentru toate scadențele; că este permisă vânzarea în lipsă a valorilor mobiliare cu utilizarea încasărilor; și că nu există oportunități de arbitraj fără risc – poate duce la prețuri care se abat de la lumea reală în care acești factori sunt prezenți.
întrebări frecvente
Ce face modelul Black-Scholes?
Black-Scholes, cunoscut și sub numele de Black-Scholes-Merton (BSM), a fost primul model utilizat pe scară largă pentru stabilirea prețurilor opțiunilor. Pe baza ipotezei că instrumentele, cum ar fi acțiunile pe acțiuni sau contractele futures, vor avea o distribuție lognormală a prețurilor după o mers aleatoriu, cu deriva și volatilitate constante, și luând în considerare alte variabile importante, ecuația derivă prețul unui apel în stil european opțiune. O face prin scăderea valorii actuale nete (VAN) a prețului de exploatare înmulțit cu distribuția normală standard cumulată din produsul prețului acțiunii și funcția de distribuție a probabilității normale standard cumulative.
Care sunt intrările pentru modelul Black-Scholes?
Intrările pentru ecuația Black-Scholes sunt volatilitatea, prețul activului subiacent, prețul de grevă al opțiunii, timpul până la expirarea opțiunii și rata dobânzii fără risc. Cu aceste variabile, teoretic este posibil ca vânzătorii de opțiuni să stabilească prețuri raționale pentru opțiunile pe care le vând.
Ce ipoteze face modelul Black-Scholes?
Modelul Black-Scholes face anumite presupuneri. Principalul dintre acestea este că opțiunea este europeană și poate fi exercitată doar la expirare. Alte ipoteze sunt că nu se plătesc dividende pe durata de viață a opțiunii; piețele sunt eficiente (adică, mișcările pieței nu pot fi prezise); că nu există costuri de tranzacționare la cumpărarea opțiunii; că rata fără risc și volatilitatea suportului sunt cunoscute și constante; și că randamentele activului suport sunt distribuite în mod normal în jurnal.
Care sunt limitele modelului Black-Scholes?
Modelul Black-Scholes este utilizat numai pentru prețul opțiunilor europene și nu ține cont de faptul că opțiunile din SUA ar putea fi exercitate înainte de data expirării. Mai mult, modelul presupune că dividendele și ratele fără risc sunt constante, dar acest lucru poate să nu fie adevărat în realitate. Modelul presupune, de asemenea, că volatilitatea rămâne constantă pe durata de viață a opțiunii, ceea ce nu este cazul, deoarece volatilitatea fluctuează în funcție de nivelul cererii și ofertei.
În plus, celelalte ipoteze – că nu există costuri de tranzacționare sau taxe; că rata dobânzii fără risc este constantă pentru toate scadențele; că este permisă vânzarea în lipsă a valorilor mobiliare cu utilizarea încasărilor; și că nu există oportunități de arbitraj fără risc – poate duce la prețuri care se abat de la lumea reală în care acești factori sunt prezenți.
