Utilizarea metodelor comune de distribuție a probabilității stocului
Distribuția distribuției probabilităților
Aproape indiferent de punctul dvs. de vedere cu privire la predictibilitatea sau eficiența piețelor, probabil că veți fi de acord că pentru majoritatea activelor, randamentele garantate sunt incerte sau riscante. Dacă ignorăm matematica care stă la baza distribuțiilor de probabilitate, putem vedea că sunt imagini care descriu o anumită viziune a incertitudinii. Distribuția probabilității este un calcul statistic care descrie șansa ca o anumită variabilă să se încadreze între sau într-un interval specific pe o diagramă de reprezentare.
Incertitudinea se referă la întâmplare. Este diferit de lipsa predictibilității sau ineficiența pieței. O opinie de cercetare emergentă susține că piețele financiare sunt atât incerte, cât și previzibile. De asemenea, piețele pot fi eficiente, dar și incerte.
În finanțe, folosim distribuțiile de probabilitate pentru a desena imagini care ilustrează viziunea noastră asupra sensibilității unui randament al activelor atunci când considerăm că randamentul activului poate fi considerat o variabilă aleatorie. În acest articol, vom trece în revistă câteva dintre cele mai populare distribuții de probabilitate și vă vom arăta cum să le calculați.
Distribuțiile pot fi clasificate ca fiind discrete sau continue și dacă este o funcție de densitate de probabilitate (PDF) sau o distribuție cumulativă.
Distribuții discrete vs. distribuții continue
Discret se referă la o variabilă aleatorie extrasă dintr-un set finit de rezultate posibile. O matriță cu șase fețe, de exemplu, are șase rezultate discrete. O distribuție continuă se referă la o variabilă aleatorie extrasă dintr-un set infinit. Exemple de variabile aleatoare continue includ viteza, distanța și unele randamente ale activelor. O variabilă discretă aleatorie este ilustrată de obicei cu puncte sau liniuțe, în timp ce o variabilă continuă este ilustrată cu o linie continuă. Figura de mai jos prezintă distribuții discrete și continue pentru o distribuție normală cu media (valoarea așteptată) de 50 și o abatere standard de 10:
Distribuția este o încercare de a înregistra incertitudinea. În acest caz, un rezultat de 50 este cel mai probabil, dar se va întâmpla doar aproximativ 4% din timp; un rezultat de 40 este o abatere standard sub medie și va apărea puțin sub 2,5% din timp.
Densitatea probabilității vs. distribuția cumulativă
Cealaltă distincție este între funcția densității probabilității (PDF) și funcția de distribuție cumulativă. PDF-ul este probabilitatea ca variabila noastră aleatorie să atingă o valoare specifică (sau în cazul unei variabile continue, să se încadreze între un interval). Arătăm că indicând probabilitatea ca o variabilă aleatorie X să fie egală cu o valoare reală x:
Distribuția cumulativă este probabilitatea ca variabila aleatorie X să fie mai mică sau egală cu valoarea reală x:
P
(…)P[x<=X](…)
sau exemplu, dacă înălțimea dvs. este o variabilă aleatorie cu o valoare așteptată de 5’10 „inci (înălțimea medie a părinților voștri), atunci întrebarea PDF este:” Care este probabilitatea să ajungeți la o înălțime de 5’4 „? ” Întrebarea corespunzătoare a funcției de distribuție cumulativă este „Care este probabilitatea să fiți mai scurt de 5’4”?
Figura de mai sus a arătat două distribuții normale. Acum puteți vedea că acestea sunt graficele funcției densității probabilității (PDF). Dacă reprogramăm exact aceeași distribuție ca o distribuție cumulativă, vom obține următoarele:
Distribuția cumulativă trebuie să ajungă în cele din urmă la 1,0 sau 100% pe axa y. Dacă ridicăm bara suficient de sus, atunci la un moment dat, practic toate rezultatele vor cădea sub bara respectivă (am putea spune că distribuția este de obicei asimptotică la 1.0).
Finanțele, o știință socială, nu sunt la fel de curate ca științele fizice. Gravitația, de exemplu, are o formulă elegantă de care putem depinde, de nenumărate ori. Returnările activelor financiare, pe de altă parte, nu pot fi reproduse atât de consecvent. O sumă uimitoare de bani a fost pierdută de-a lungul anilor de către oameni deștepți care au confundat distribuțiile exacte (adică, ca și cum ar fi derivate din științele fizice) cu aproximările dezordonate și nesigure care încearcă să descrie randamentele financiare. În finanțe, distribuțiile de probabilitate sunt puțin mai mult decât reprezentări picturale brute.
Distributie uniforma
Cea mai simplă și mai populară distribuție este distribuția uniformă, în care toate rezultatele au șanse egale de apariție. O matriță cu șase fețe are o distribuție uniformă. Fiecare rezultat are o probabilitate de aproximativ 16,67% (1/6). Complotul nostru de mai jos arată linia continuă (astfel încât să o puteți vedea mai bine), dar rețineți că aceasta este o distribuție discretă – nu puteți rula 2.5 sau 2.11:
Acum, aruncați două zaruri împreună, așa cum se arată în figura de mai jos, iar distribuția nu mai este uniformă. Acesta atinge vârful la șapte, ceea ce are o șansă de 16,67%. În acest caz, toate celelalte rezultate sunt mai puțin probabile:
Acum, aruncați trei zaruri împreună, așa cum se arată în figura de mai jos. Începem să vedem efectele unei cele mai uimitoare teoreme: teorema limitei centrale. Teorema limitei centrale promite cu îndrăzneală că suma sau media unei serii de variabile independente vor tinde să devină distribuite în mod normal, indiferent de propria distribuție. Zarurile noastre sunt uniforme individual, dar le combină și – pe măsură ce adăugăm mai multe zaruri – aproape magic suma lor va tinde spre distribuția normală familiară.
Distribuție binomială
Distribuția binomială reflectă o serie de încercări „fie / sau”, cum ar fi o serie de aruncări de monede. Acestea se numesc încercări Bernoulli – care se referă la evenimente care au doar două rezultate – dar nu aveți nevoie de cote pare (50/50). Distribuția binomială de mai jos prezintă o serie de 10 aruncări de monede în care probabilitatea capetelor este de 50% (p-0,5). Puteți vedea în figura de mai jos că șansa de a răsturna exact cinci capete și cinci cozi (ordinea nu contează) este doar timidă de 25%:
Dacă distribuția binomială vi se pare normală, aveți dreptate în acest sens. Pe măsură ce numărul studiilor crește, binomul tinde spre distribuția normală.
Distribuție lognormală
Distribuția lognormală este foarte importantă în finanțe, deoarece multe dintre cele mai populare modele presupun că prețurile acțiunilor sunt distribuite lognormal. Este ușor să confundați randamentele activelor cu nivelurile de preț.
Randamentele activelor sunt adesea tratate ca fiind normale – un stoc poate crește cu 10% sau scade cu 10%. Nivelurile de preț sunt adesea tratate ca lognormale – o acțiune de 10 USD poate crește până la 30 USD, dar nu poate coborî până la – 10 USD. Distribuția lognormală este diferită de zero și înclinată spre dreapta (din nou, un stoc nu poate scădea sub zero, dar nu are o limită teoretică de creștere):
Poisson
Distribuția Poisson este utilizată pentru a descrie șansele unui anumit eveniment (de exemplu, o pierdere zilnică de portofoliu sub 5%) care are loc într-un interval de timp. Deci, în exemplul de mai jos, presupunem că un anumit proces operațional are o rată de eroare de 3%. În continuare, presupunem 100 de studii aleatorii; distribuția Poisson descrie probabilitatea de a obține un anumit număr de erori într-o anumită perioadă de timp, cum ar fi o singură zi.
T student
Distribuția T a elevului este, de asemenea, foarte populară, deoarece are o coadă ușor „mai grasă” decât distribuția normală. T-ul studentului este utilizat de obicei atunci când dimensiunea eșantionului nostru este mică (adică mai mică de 30). În finanțe, coada stângă reprezintă pierderile. Prin urmare, dacă dimensiunea eșantionului este mică, îndrăznim să subestimăm șansele unei pierderi mari. Coada mai grasă de pe T-ul elevului ne va ajuta aici. Chiar și așa, se întâmplă ca coada grasă a acestei distribuții să nu fie suficient de grasă. Randamentele financiare tind să prezinte, cu rare ocazii catastrofale, pierderi cu adevărat de coadă de grăsime (adică mai grase decât cele prevăzute de distribuții). Sume mari de bani s-au pierdut făcând acest lucru.
Distribuție beta
În cele din urmă, distribuția beta (care nu trebuie confundată cu parametrul beta din modelul de stabilire a prețurilor activelor de capital ) este populară la modelele care estimează ratele de recuperare a portofoliilor de obligațiuni. Distribuția beta este playerul utilitar al distribuțiilor. La fel ca normalul, are nevoie doar de doi parametri (alfa și beta), dar pot fi combinați pentru o flexibilitate remarcabilă. Patru distribuții beta posibile sunt ilustrate mai jos:
Linia de fund
La fel ca atât de mulți pantofi din dulapul nostru de pantofi statistici, încercăm să alegem cea mai potrivită potrivire pentru ocazie, dar nu știm cu adevărat ceea ce ne rezervă vremea. Putem alege o distribuție normală, apoi aflăm că a subestimat pierderile din coada stângă; deci trecem la o distribuție înclinată, doar ca datele următoare să pară mai „normale” în perioada următoare. Matematica elegantă de dedesubt vă poate seduce să credeți că aceste distribuții dezvăluie un adevăr mai profund, dar este mai probabil ca acestea să fie simple artefacte umane. De exemplu, toate distribuțiile pe care le-am analizat sunt destul de netede, dar unele rentabilități ale activelor salt discontinuu.
Distribuția normală este omniprezentă și elegantă și necesită doar doi parametri (medie și distribuție). Multe alte distribuții converg către normal (de exemplu, binom și Poisson). Cu toate acestea, multe situații, cum ar fi rentabilitatea fondurilor speculative, portofoliile de credite și evenimente de pierdere severă, nu merită distribuții normale.