Cum să construiți modele de evaluare precum Black-Scholes

Opțiunile de evaluare pot fi o afacere dificilă. Luați în considerare următorul scenariu: În ianuarie 2015,  acțiunile opțiune de cumpărare  pe acțiunea IBM cu un  preț  de așteptare de la ATM de 155 USD, așteptând să beneficiați de randamente procentuale ridicate, pe baza unui cost de opțiune mic ( opțiune premium ), comparativ cu achiziția de acțiuni cu un preț de cumpărare ridicat.

Astăzi, sunt disponibile câteva metode gata pregătite pentru a opționa valorile – inclusiv modelul  Black-Scholes  și  modelul arborelui binomial – care pot oferi răspunsuri rapide. Dar care sunt factorii care stau la baza și conceptele determinante pentru a ajunge la astfel de modele de evaluare? Se poate pregăti ceva similar, pe baza conceptului acestor modele?

Aici, acoperim elementele de bază, conceptele care stau la baza și factorii care pot fi folosiți ca cadru pentru a construi un model de evaluare pentru un activ, cum ar fi opțiunile, oferind o comparație side-by-side cu originile Black-Scholes (BS) ) model.

Acest articol nu intenționează să conteste ipotezele sau orice alți factori ai modelului BS (care este cu totul alt subiect diferit); mai degrabă, își propune să explice conceptul de bază al modelului Black-Scholes, împreună cu ideea dezvoltării modelului de evaluare.

Lumea înainte de Black-Scholes

Înainte de Black-Scholes, modelul de stabilire a prețurilor activelor de capital (CAPM) bazat pe echilibru a fost urmărit pe scară largă. Randamentele și riscurile au fost echilibrate între ele, pe baza preferințelor investitorului, adică un investitor cu risc ridicat era de așteptat să fie compensat cu (potențialul) randamentelor mai mari într-o proporție similară.

Modelul BS își găsește rădăcinile în CAPM. Potrivit lui Fischer Black: „Am aplicat modelul de stabilire a prețurilor activelor de capital în fiecare moment din viața unui mandat, pentru fiecare preț posibil al acțiunii și valoarea acestuia.”Din păcate, CAPM nu a reușit să îndeplinească cerința destabilire a prețului mandatului (opțional).

Black-Scholes rămâne primul model, bazat pe conceptul de arbitraj, care face o schimbare de paradigmă de la modelele bazate pe risc (cum ar fi CAPM). Această nouă dezvoltare a modelului BS a înlocuit conceptul de rentabilitate a acțiunilor CAPM cu recunoașterea faptului că o poziție perfect acoperită va câștiga o rată fără risc. Acest lucru a eliminat variațiile de risc și de rentabilitate și a stabilit conceptul de arbitraj în care evaluările sunt efectuate pe ipoteze de concept neutru din punct de vedere al riscului – o poziție acoperită (fără risc) ar trebui să conducă la o rată de rentabilitate fără risc.

Dezvoltarea Black-Scholes

Să începem prin stabilirea problemei, cuantificarea ei și dezvoltarea unui cadru pentru soluționarea acesteia. Continuăm cu exemplul nostru de evaluare a opțiunii de apel ATM pe IBM cu un preț de greutate de 155 USD, cu un an până la expirare.

Pe baza definiției de bază a unei opțiuni de achiziție, cu excepția cazului în care prețul acțiunilor atinge nivelul prețului de grevă, recompensa rămâne zero. După acest nivel, recompensa crește liniar (adică, o creștere de un dolar a suportului va oferi o recompensă de un dolar din opțiunea de apel).

Presupunând că cumpărătorul și vânzătorul sunt de acord cu o evaluare echitabilă (inclusiv prețul zero), prețul teoretic corect pentru această opțiune de achiziție va fi:

• Prețul opțiunii de apelare = 0 USD, dacă se află sub <avertisment (grafic roșu)
• Preț opțiune de achiziție = (subiacent — avertisment), dacă subiacent> = avertisment (grafic albastru)

Aceasta reprezintă valoarea intrinsecă a opțiunii și arată perfect din punctul de vedere al unui cumpărător de opțiune de apel. În regiunea roșie, atât cumpărătorul, cât și vânzătorul au o evaluare echitabilă (preț zero la vânzător, zero plată la cumpărător). Cu toate acestea, provocarea de evaluare începe cu regiunea albastră, deoarece cumpărătorul are avantajul unei plăți pozitive, în timp ce vânzătorul suferă o pierdere (cu condiția ca prețul de bază să depășească prețul de grevă). Aici cumpărătorul are un avantaj față de vânzător cu preț zero. Prețurile trebuie să fie diferite de zero pentru a compensa vânzătorul pentru riscul pe care îl asumă.

În primul caz (grafic roșu), teoretic, prețul zero este primit de către vânzător și există un potențial zero de plată pentru cumpărător (echitabil pentru ambii). În acest din urmă caz ​​(grafic albastru), diferențialul dintre subiacent și greva trebuie plătit de către vânzător cumpărătorului. Riscul vânzătorului se întinde pe durata unui an întreg. De exemplu, prețul de bază al acțiunii se poate muta foarte mare (să zicem la 200 USD în patru luni) și vânzătorul trebuie să plătească cumpărătorului diferențialul de 45 USD.

Astfel, se reduce la:

1. Prețul suportului va crește prețul de grevă?
2. În caz contrar, cât de mare poate crește prețul de bază (deoarece aceasta va determina plata către cumpărător)?

Acest lucru indică riscul mare asumat de vânzător, ceea ce duce la întrebarea – de ce ar vinde cineva un astfel de apel, dacă nu primește nimic pentru riscul pe care îl asumă?

Scopul nostru este să ajungem la un preț unic pe care vânzătorul ar trebui să îl perceapă cumpărătorului, ceea ce îl poate compensa pentru riscul general pe care îl asumă peste un an – atât în ​​regiunea de plată zero (roșu), cât și în regiunea de plată liniară (albastră). Prețul trebuie să fie corect și acceptabil atât pentru cumpărător, cât și pentru vânzător. Dacă nu, atunci cel care este dezavantajat în ceea ce privește plata sau primirea prețului nedrept nu va participa pe piață, învingând astfel scopul afacerii comerciale. Modelul Black-Scholes își propune să stabilească acest preț corect, luând în considerare variația constantă a prețului stocului, valoarea în timp a banilor, prețul de grevă al opțiunii și timpul până la expirarea opțiunii. Similar modelului BS, să vedem cum putem aborda pentru a evalua acest lucru pentru exemplul nostru folosind propriile noastre metode.

Cum se evaluează valoarea intrinsecă în regiunea albastră?

Sunt disponibile câteva metode pentru a prezice mișcarea așteptată a prețului în viitor într-un anumit interval de timp:

• Se poate analiza mișcări similare ale prețurilor de aceeași durată în trecutul recent. Prețul istoric de închidere IBM indică faptul că în ultimul an (2 ianuarie 2014, până la 31 decembrie 2014), prețul a scăzut la 160,44 USD de la 185,53 USD, un declin de 13,5%.  Putem încheia o mișcare de preț de -13,5% pentru IBM?
• O altă verificare detaliată indică faptul că a atins un maxim anual de 199,21 USD (pe 10 aprilie 2014) și un minim anual de 150,5 USD (pe 16 decembrie 2014). În funcție de ziua de începere, 2 ianuarie 2014 și de prețul de închidere de 185,53 USD, variația procentuală variază de la + 7,37% la -18,88%. Acum, gama de variații pare mult mai largă comparativ cu scăderea calculată anterior de 13,5%.

Se pot efectua analize și observații similare asupra datelor istorice. Pentru a continua dezvoltarea modelului nostru de prețuri, să presupunem această metodologie simplă pentru a evalua variațiile viitoare de preț.

Să presupunem că IBM crește cu 10% în fiecare an (pe baza datelor istorice din ultimii 20 de ani). Statisticile de bază indică faptul că probabilitatea schimbării prețului acțiunilor IBM care se deplasează în jurul valorii de + 10% va fi mult mai mare decât probabilitatea creșterii cu 20% sau a scăderii cu 30% a prețului IBM, presupunând că modelele istorice se repetă. Colectând puncte de date istorice similare cu valori de probabilitate, o rentabilitate generală așteptată a prețului acțiunilor IBM într-un interval de timp de un an poate fi calculată ca o medie ponderată a probabilităților și a randamentelor asociate. De exemplu, să presupunem că datele istorice ale prețurilor IBM indică următoarele mișcări:

• (-10%) în 25% din cazuri,
• + 10% în 35% ori,
• + 15% în 20% de ori,
• + 20%  în 10% ori,
• + 25% în 5% ori și
• (-15%) în 5% din cazuri.

Prin urmare, media ponderată (sau valoarea așteptată) vine la:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6,5%

Adică, în medie, se așteaptă ca prețul acțiunilor IBM să revină + 6,5% peste un an pentru fiecare dolar. Dacă cineva cumpără acțiunile IBM cu un orizont de un an și un preț de cumpărare de 155 USD, se poate aștepta la o rentabilitate netă de 155 * 6,5% = 10,075 USD.

Cu toate acestea, aceasta este pentru rentabilitatea stocului. Trebuie să căutăm returnări similare pentru opțiunea de apel.

Pe baza plății zero a apelului sub prețul de așteptare (155 USD existent – apel bancomat), toate mișcările negative vor genera zero plăți, în timp ce toate mișcările pozitive peste prețul de așteptare vor genera o plată echivalentă. Randamentul așteptat pentru opțiunea de apel va fi astfel:

 ( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9,75%

Adică, pentru fiecare 100 USD investit în cumpărarea acestei opțiuni, ne putem aștepta la 9,75 USD (pe baza ipotezelor de mai sus).

Cu toate acestea, acest lucru rămâne încă limitat la evaluarea corectă a cantității intrinseci de opțiune și nu surprinde corect riscul suportat de vânzătorul de opțiuni pentru oscilațiile ridicate care pot apărea între timp (în cazul intermitentelor sus-menționate ridicate și scăzute) prețuri). În plus față de valoarea intrinsecă, ce preț poate fi convenit de către cumpărător și vânzător, astfel încât vânzătorul să fie compensat în mod echitabil pentru riscul pe care îl asumă pe parcursul unui an?

Aceste leagăne pot varia foarte mult și vânzătorul poate avea propria interpretare a cât de mult dorește să fie compensat pentru asta. Modelul Black-Scholes presupune opțiuni de tip european, adică niciun exercițiu înainte de data de expirare. Astfel, rămâne neafectat de fluctuațiile intermediare ale prețurilor și își bazează evaluarea în zilele de tranzacționare de la un capăt la altul.

În tranzacționarea în timp real, această volatilitate joacă un rol important în determinarea prețurilor opțiunilor. Funcția de plată albastră pe care o vedem în mod obișnuit este de fapt plata la data de expirare. În mod realist, prețul opțiunii (grafic roz) este întotdeauna mai mare decât recompensa (grafic albastru), indicând prețul luat de vânzător pentru a compensa abilitățile sale de asumare a riscurilor. Acesta este motivul pentru care prețul opțiunii este cunoscut și sub denumirea de opțiune „premium” – indicând în mod esențial prima de risc.

Acest lucru poate fi inclus în modelul nostru de evaluare, în funcție de cât de multă volatilitate este așteptată în prețul acțiunilor și de cât de multă valoare așteptată ar produce.

Modelul Black-Scholes o face eficient (desigur, în propriile sale ipoteze) după cum urmează:

Modelul BS presupune distribuția lognormală a mișcărilor prețului acțiunilor, ceea ce justifică utilizarea lui N (d1) și N (d2). 

• În prima parte, S indică prețul curent al acțiunii. 
• N (d1) indică probabilitatea mișcării actuale a prețului stocului.

Dacă această opțiune merge în bani, permițând cumpărătorului să exercite această opțiune, el va primi o acțiune din acțiunile IBM subiacente. Dacă comerciantul o exercită astăzi, atunci S * N (d1) reprezintă valoarea actualizată a opțiunii în prezent.

În a doua parte, X indică prețul de vânzare.

• N (d2) reprezintă probabilitatea ca prețul acțiunilor să fie peste prețul de exercitare.
• Deci X * N (d2) reprezintă valoarea așteptată a prețului acțiunilor rămase peste  prețul de exercitare.

Deoarece modelul Black-Scholes presupune opțiuni în stil european în care exercițiul este posibil doar la sfârșit, valoarea așteptată reprezentată mai sus de X * N (d2) ar trebui redusă pentru valoarea în timp a banilor. Prin urmare, ultima parte se înmulțește cu termenul exponențial crescut la rata dobânzii pe parcursul perioadei de timp.

Diferența netă a celor doi termeni indică valoarea prețului opțiunii începând de astăzi (în care al doilea termen este actualizat)

În cadrul nostru, astfel de modificări de preț pot fi incluse mai precis prin mai multe moduri:

• Perfecționarea ulterioară a calculelor rentabilității așteptate prin extinderea intervalului la intervale mai fine pentru a include modificări ale prețului intraday / intra 
• Includerea datelor actuale de piață, deoarece reflectă activitatea curentă (similară cu volatilitatea implicită )
• Returnări preconizate la data de expirare, care pot fi actualizate până în prezent pentru evaluări realiste și reduse în continuare de la valoarea actuală

Astfel, vedem că nu există nicio limită pentru presupunerile, metodologiile și personalizarea care trebuie selectate pentru analiza cantitativă. În funcție de activul care urmează să fie tranzacționat sau investiția care trebuie luată în considerare, se poate lucra la un model auto-dezvoltat. Este important să rețineți că volatilitatea mișcărilor de preț ale diferitelor clase de active variază foarte mult – acțiunile prezintă o  înclinare a volatilității, forexul are o  volatilitate încruntată – iar utilizatorii ar trebui să încorporeze modelele de volatilitate aplicabile în modelele lor. Ipotezele și dezavantajele sunt parte integrantă a oricărui model, iar aplicarea informată a modelelor în scenariile de tranzacționare din lumea reală poate produce rezultate mai bune.

Linia de fund

Odată cu intrarea activelor complexe pe piețe sau chiar a activelor simple de vanilie care intră în forme complexe de tranzacționare, modelarea și analiza cantitativă devin obligatorii pentru evaluare. Din păcate, niciun model matematic nu vine fără un set de dezavantaje și ipoteze. Cea mai bună abordare este de a menține ipotezele la un nivel minim și de a fi conștienți de dezavantajele implicite, care pot ajuta la trasarea liniilor privind utilizarea și aplicabilitatea modelelor.